什么是向量？是集合论建立前有个公理系统。在集合论得到公认之后。可简化一些。

可在一个集合内定义运算。

当集合由n个有序实数组（x1.x2，…xn.）为元素构成。

首先定义两个元素相等与不等。然后，定义加法为对应坐标相加。证明加法构成运算群。

就可把这个集合称为向量集合。每一个元素称为一个向量。

再定义实数与向量之乘法。

然后，定义向量线性相关与线性无关。

证明n＋1个向量一定线性相关。存在n个线性无关向量。称这样的向量集合为n维向量空间。

物理上，向量相等增加了一个“等价原则”。于是出现了三种矢量相等定义。出现三种不同的加法定义。这时，才把与初始定义向量加法定义相同的一类向量，称为自由向量。另两类分别称为粘向量，滑动向量。

再在等价原则之下，定义不同类型向量之间的运算。例如，两个非自由向量的外乘，所得乘积向量变为自由向量了。