主要内容：

已知x2+y2=1,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

本文用到的主要公式：

1.(sint)2+(cost)2=1。

2.正数a,b有不等式：a2+b2≥2ab。

3.(a±b)2=a2±2ab+b2。

思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=2-(x+y)2≤2,

则(x-y)2的最大值=2。

思路二：三角换元法

设x=sint,y=cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(sint)2+(cost)2-2*sint*cost

=1-sin2t

即：

(x-y)2的最大值=1*[1-(-1)]=2。

思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=1

x2+x2-2xt+t2-1=0

2x2-2xt+t2-1=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-1)≥0，即：

t2≤2，

故(x-y)2=t2的最大值=2。

思路四：中值替换法

设x2=1/2+t,y2=1/2-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=1/2+t+2√[(1/2+t)(1/2-t)]+1/2-t

=1+2√(1/4-t2)

≥1+1=2。

思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=1-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=1≥2xy,

则2xy的最小值=-1。

所以(x-y)2的最大值=1-(-1)=2。