在数学多元函数求极值问题中，拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法，一般我们设给定的二次函数z=f(x,y)和附加条件Φ(x,y)=0，我们是要寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点，这个时候我们就要利用到拉格朗日函数。

即为F(x,y,λ)=f(x,y)+λΦ(x,y)，其中λ是参数。

之后令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，再进行求解即可。

但是我们的问题就在于λΦ(x,y)应该怎么求，f(x,y)是已给的条件没关系，λΦ(x,y)我们不知道。

注意，其实这里的附加条件已经给出了，就是Φ(x,y)=0，也就是说，我们利用f(x,y)的变式就能够得到Φ(x,y)的式子了，所以话不多说，我们来看一道实际例题，就能够很好的帮助理解。

图一

如图所示，这道题是一道文字应用题，首先，我们要做的就是根据题目的内容，来得到哪些已经知道的条件，比方说圆、正方形和正三角形的边长、周长和面积。

我们可以设铁丝分成的三段长度分别为x，y，z，这三段也分别代表着圆的周长，正方形的周长和正三角形的周长，那么我们就可以求出圆的半径为x/2π，正方形的边长为y/4，正三角形的边长就是z/3。

那就可以得到圆的面积为π(x/2π)^2，正方形的面积为(y/4)^2，正三角形的面积为(根号3)/4乘以(z/3)^2，这里根号3我就暂时用文字表示了，知道三者的面积之后，不就能够知道总的面积了，然后再构造拉格朗日函数。

图二

如图所示，我们这里的Φ(x,y)=0在题目中就给出我们了，也就是x+y+z=0。

所以Φ(x,y)=x+y+z，后面的式子就是这样来的。

我们在做题的时候，一定要充分的利用好题目所给出的条件，只有利用好了这些条件，我们就会觉得这道题目并没有想象中的那么难。

在构造出拉格朗日函数之后，我们要做的就是对x，y，z和λ求偏导等于零，求偏导等于零的目的就是为了最后分别求出x，y，z的极值，以此来求出整个面积S的极值。

这里一定要充分的注意，每个偏导都要求出来，然后再求方程组，不过这些式子中的λ都可以抵消掉，最后就剩下x，y，z三个元素的值。

图三

如图所示，根据一阶偏导等于零，就可以得到L'x、L'y、L'z和L'λ的四个方程组，由此就能够解出三个元素x，y，z的值，最后将三个值代入到原本的面积公式中，就能够求出面积S的极值，也就是题目中所要求的S的最小值。

最后的话做个总结，遇到这种求极值问题，如果在题目中给出像x+y+z-2=0这样的式子或者类似于x+y+z=2这样的变式，也就意味着这些是约束条件，我们可以尝试用一下拉格朗日乘数法来解决这些题目，能够帮助我们缩短解题的时间，非常方便！