李白沽酒中的数学文化——兼谈孙子定理

巴山数学 09-24 191

前言：

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数学联袂诗歌，这是艺术殿堂的又一朵奇葩！

一千多年前的《孙子算经》上，记载着一道“物不知数”的算术题，后被称为“孙子定理”或“鬼谷子算”。

原题是这样的：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

意思是：

现有一物品，不知道它的具体数目。以3个来计数（3个3个地数），最后剩下2个；以5个来计数（5个5个地数），最后剩下3个；以7个来计数（7个7个地数），最后剩下 2个。那么，这些物品至少有多少个呢?

有“珠算之父”之称的明代数学爱好者——程大位，在《算法统宗》中就用了四句诗来概括这类问题的解法：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

这首诗的每一句都是一步解题方法，运用诗中暗含的运算方法即可得到“物不知数”问题的答案。

这个“物不知数”问题，若化为现代数学，则有:一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

其一般解答为:设这个数为A,则这个数满足以下等式，A=3k+2，A=5k+3，A=7k+2，再令k等于1、2、3、4......直至得到三个想同的数,即为所求的整数.

同余方程解答:(孙子定理 )设m1,m2,…,mk 是 k 个两两互素的正整数，m= m1m2…mk , Mi =m/ mi (i=1,…,k ),则同余方程组x ≡b1 (mod m1); x ≡b2( mod m2); …… ; x ≡bk (mod mk )有唯一解x ≡ M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk(mod m)其中MiNi≡1 (mod mi) (i=1,…,k)。

解答:令m1=3，m2=5，m3=7，(显然k=3)且m1、m2、m3两两互素。

又b1=2，b2=3，b3=2，则m=m1m2m3=3x5x7=105。

由105=m1M1，知M1=35；由105=m2M2，知M2=21；由105=m3M3，知M3=15。

又要求M'iMi≡1(mod mi)，由35M'1≡1(mod 3)，知M'1=2；由21M'2≡1(mod 5)，知M'2=1；由15M'3≡1(mod 7)，知M'3=1，于是x≡2x35x2+1x21x3+1x15x2≡233≡23。

这个解法，数学气息过于浓厚，不过，还是挺严谨的，毕竟是老祖宗留下的葵花宝典——“中国剩余定理”！

其实，数学还是蛮有趣的，诗人也常借数字来直抒胸臆或托物言志的。

数学与诗，这似乎是两个截然不同的领域，若能相互联系，就会创造出美的意境来。

诚如美国一位数学家R-D卡迈克尔（1879-1967）所言，“数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言变得完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。”

数学邂逅诗歌，这是诗的风骚，也是数的奥妙，遇见这样的诗文，你还不陶醉在数学的美好港湾里？

有酒就有诗，“李白沽酒”就是一个古老的传说，也由此再生出一首简单而有趣的打油诗：

李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗。