有时候会觉得高等数学的题目比高考的数学题还要简单。那是因为高等数学有更多定理和知识做支持，而且一般的题目，这些定理和知识运用得还都是比较机械的。如果你也有这种感觉的话，那就一定要好好学一学这道运用拉格朗日中值定理的题目了，它可能会刷新你对拉格朗日中值定理的认知。

证明：若x>0, 则

(1)√(x+1)-√x=1/(2√(x+θ(x)))，其中1/4<θ(x)<1/2；

(2)lim(x→0^+ )θ(x)=1/4，(lim)(x→+∞)θ(x)=1/2.

分析：高数问题构造辅助函数是最常用的方法之一。这道题构造的辅助函数相当简单，就构造f(x)=√x，并求它的导数，得到f'(x)=/(√).

当x大于0时，函数在任意闭区间[x,x+1]上，都是符合拉格朗日中值定理的。

因此，√(+)−√=/(√(+())), 0<θ(x)<1.

也就是两个函数的函数差比自变量差，会等于对应开区间上的一个点的导数值，这里自变量差刚好等于1。而这个点可以用x+θ(x)来表示。根据拉格朗日中值定理，这里的θ是在(0,1)上的。到这里肯定有不少人就会犯迷糊了。式子倒是证明出来了，但条件不对啊。题目中θ(x)的值域明明是在(1/4,1/2)上的啊。那应该怎么办呢？

其实很简单，而且直接，就是证明1/4<θ(x)<1/2，就可以了嘛。

由上式得到另一个等式：√(+())=√(+)+√，就是两边都取倒数，原式左边分子分母同乘以√(+)+√，进行分母有理化，就变成这个式子右边的形式了。

再两边同时平方，移项，化简，可以得到θ(x)的一个表达式：θ(x)=1/4+(√(x(x+1))-x)/2。

所以拉格朗日中值定理中的θ，在可变区间上，其实是一个函数，而不是一个常数。这个函数在区间大小一定时，会随着区间左端点的变化而变化。也可以随着右端点的变化而变化。从这个函数的解析式就可以发现，θ(x)的值域大于1/4了。

将θ(x)的解析式中的分式，分子分母同乘以√((+) )+，化为：θ(x)=/+/((√((+) )+)).

可以发现，后面的分式一定小于四分之一，所以θ(x)小于二分之一。关于上下界的确定，请自行理解，很容易的。

这就证明了1/4<θ(x)<1/2，从而得证。

下面我们来看一看θ(x)的图像。这个图像一开始吓了老黄一跳。中间怎么空了一块，原来是因为函数在(-1,0)上没有定义。注意，这是函数本身的存在域，就这道题来说，它的定义域是在正区间的。

不论是存在域，还是定义域，第一个极限都只能求右极限。代入x=0，就求得极限等于四分之一。

而求x趋于正无穷大的极限，最好把函数的形式化为根式在分母的情形。因为这样才能直接得到极限等于二分之一。这是因为分子分母的最高次项相同，都是1次项，分子的一次项系数是1，分母的1次项系数是4，当x趋于无穷大时，根分式的极限就是四分之一，加上前面的四分之一，就等于二分之一。

通过这道题，我们可以知道，拉格朗日中值定理公式中的θ，不仅仅可以确定在(0,1)上，而且有可能确定在一个更小的区间上的。怎么样？这道题能让你对拉格朗日中值定理有一个新的认识吗？