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统计

2.1.1 简单随机抽样

1．总体和样本

在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．

把每个研究对象叫做个体．

把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： ， ， ，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随

机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每

个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基

础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3．简单随机抽样常用的方法：

（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；

③概率保证程度。

4．抽签法:

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；

（2）准备抽签的工具，实施抽签

（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

5．随机数表法：

例：利用随机数表在所在的班级中抽取 10位同学参加某项活动。

2.1.2 系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究

变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的

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特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距

离重合。

2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，

实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单

元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3 分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，

然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将

这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：

1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最

后用系统抽样的方法抽取样本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体

中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分

层变量。

（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

3．分层的比例问题：

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取

子样本的方法。

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采

用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资

料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据

恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

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1、本均值：n

xxxx n 21

2、．样本标准差：n

xxxxxxss n

222

212 )()()( 



3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样

本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，

而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信

息。

4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变

（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k，标准差变为原来的 k倍

（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间 )3,3( sxsx  的应用；

"去掉一个最高分，去掉一个最低分"中的科学道理

2.3.2 两个变量的线性相关

1、概念:

（1）回归直线方程（2）回归系数

2．最小二乘法

3．直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存

的数量关系

（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量 x）代入回归方程对预报量（即

因变量 Y）进行估计，即可得到个体 Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定 Y值的变化，通过控制 x的范围来实现统计控

制的目标。如已经得到了空气中 NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车

流量来控制空气中 NO2的浓度。

4．应用直线回归的注意事项

（1）做回归分析要有实际意义；

（2）回归分析前,最好先作出散点图；

（3）回归直线不要外延。