笛卡尔和费马

在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸。笛卡尔和费马将数与图形有机地结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变。图形数量化研究的基础是坐标系，其研究领域主要包括图形的位置和图形的运动。

从历史的发展看，两个基础性工作对坐标系的建立起到了重要的作用，一个是发明了地球表面上和空间星座中的经纬线，用经纬线来确定点的位置，另一个是研究了平面上满足某些条件的点的运动轨迹。笛卡尔在解决所谓“3条或4条直线的轨迹”问题的过程中，萌发了建立坐标系的构想，从而发明了解析几何。

解析几何的核心思想就是建立一个参照系，借助参照系通过数量分析的方法研究几何图形及其变化。显然，参照系的维数应当等同于图形所在空间的维数，因此用一条射线和一个角度也可以作为平面图形的参照系，这便是极坐标。

图形运动可以很好地体现图形直观的教育价值。

刚体变换对应于传统的欧几里得几何，这种几何保持距离不变，所以也保持角度，面积这些特性不变，可以建立全等这样的概念。仿射变换对应于仿射几何，这种变换保持直线仍然是直线以及平行的性质不变，这种变换可以把三角形放大或缩小，把圆压缩为椭圆，因此欧几里得几何是仿射几何的特例。射影变换对应于射影几何，这种变换保持直线仍然是直线，因此可以保持几个点共线，几条线共点以及线段之间的比例这些特性不变，而仿射几何是射影几何的特例。

就日常生活和生产实践的需要而言，算术的计算要比几何的论证更为实用，但是，至少从柏拉图时代开始到韦达（1540-1603，法国数学家）时代为止，人们始终认为几何才是真正的数学。这主要是因为以欧几里得为代表的古希腊学者的卓越工作，使得几何学如此成功地运用了演绎论证的方法，人们在几何学中感悟到“真理”的存在。正因为有了这样的感悟，人们对数学的理解从实际应用过渡到理性分析，这种理性分析包括概念的一般性，推理的逻辑性和体系的完备性，欧几里得几何正是理性分析的典范。也正因为如此，从柏拉图开始，几乎所有的哲学家在论证思维的功效，在论证真理的客观性时，都把数学（大多数是几何学）作为他们论证的基石。

与此相对应，在相当长的一段时间，人们无法合理地解释算术的合理性，为了寻求合理性甚至不惜烦琐地借助几何的方法（参见《几何作图及相关的数学发展》），于是算术就成为了几何的附庸。但后来有了根本性的转变，我们在上一讲《公理体系的数学发展》中已经看到，无论是希尔伯特还是哥德尔都借助了算术方法来论证几何体系。这个根本性转变是由于两位法国数学家创造性的工作，这两位数学家就是解析几何的创始人笛卡尔（1596-1650）和费马（1601-1665），他们把数与图形有机地结合起来，开创了图形的数量化研究。图形数量化研究的基础是坐标系，研究的领域大体上可以分为两个：图形的位置和图形的运动。我们先讨论坐标系产生的数学背景，然后再分别讨论这两个图形数量化研究领域。