大家好，这里是二零二四年高考数学思维提升一百天，我是许老师，来看今天的题目。利用以半径为四厘米的圆形纸片圆形为O制作一个正式能锥，方法如下：

·一，以O为圆心制作一个小的圆。二，在小的圆内制作一内接正方形ABCD：3CE，以正方形ABCD道的斜边向外做等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上。

·如图四，将正方形ABCD作为正四能锥的底，四个等腰三角形作为正四棱的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合。阿：要使所制作的正四能锥体积最大则小圆半径为多少？像这种是一些立体结合的最大体积的问题，像这种问题肯定都是要变成一个函数问题，然后再利用相关的东西去求函数的最值、函数问题。

像这里整个圆半径为四，然后里面一个小圆，假设小圆半径，这里连接它 O到，假设它是一个R或者说 X，用A8，这样这个外接正方形它的边床，当然是一个根号二X。

现在要以这一个一条边往外做一个等腰三角形，如果连接O G，由于 OS等于O道，所以OS是一个垂直平行线，垂直平行线，两条OS是半径四，这是一个小的等腰直角三角形，这是二分之根号二X，所以这一条往外沿出去的部分，就是一个四减去二分之更好I X。

·接下来当把这一个新的正棱给它真正的折起来的时候，这个V C道会沿着C刀往上去翻上来，三角形 OS刀做一个侧面，这一条四减去二倍根号二，就是这个侧面上的一条高，是一条叫做斜高的东西。

可以把图画一下，底下是一个正方形，然后四个全等的等腰三角形，找到一起来。假设H E F，它们就在这里，然后这里只要标一个c 道，看这一条就行了。作为 G C 道而言，这个O点肯定是高，许老师2024高考将根号2××的平方乘上这个高就是这个表达式，根号下面十六减掉四倍根号2 x，这样给它画出来是三分之二倍的。

·这里有个x平方在外面，根号这个东西在等于二三角形的高，也是这个正式上最终的斜高，就这样四减去二分之根号二x。

·但是要算体积，要的是真正的高，所以这里还得把这一条线给连起来，显然c到和o g垂直c到也和这条g，只能随便标个字母叫做m。c道垂直于 g m，垂直于 g o，那么它和平面g m垂直和o m一定也是垂直的，这是一个终点。

·这一个正方形的边长是根号二 x，所以这两段都是一个三分之二根号二x，从而我们的 go。就可以去表示出来是真正的高 h，根号下面勾股定理，四减去二分之根号x的平方再减去这一半，边长一半，二分之根号 x的平方。这个东西可以化解出来，等于根号下面是一个十六减掉，这里二倍之后是四倍，正好二x，加上这个和减去这个底下掉就不管它了，就这么多是一个王八底，就先暂时不管它。

·有了这个高之后体积v，当然就可以算了，体积v等于三分之一的底子面积乘以高，底面积是根号二x的平方，乘上这个高就是这个表达式，根号下面十六减掉四倍根号二 x，这样给它画出来是三分之二倍的。

·这里有个x，平方在外面，然后根号这个东西在里面，有根号比较方，就把根号外面的放到里面来。x上方看根号变成 x的四次方，就是十六倍x的四次方减掉四倍根号二x的五次方来得到这个数字。

这样就其他部分都不用考虑，因为是不变的，只要考虑里面这一层东西它的坠子就行了。顺便还可以看一下x的取值范围，作为这条斜边肯定要比这条直角边要大，所以这里还有一个四减去二分之根号二 x，它肯定要大于这一个二分之根号二 x，才有这一条真正的高存在，所以这里得到四大于根号二 x，x不能太大，要小于一个二倍，然后x肯定是要大于零的，就是正方形画的小一点，比较尖尖的正常的缀肯定是存在的。

这样得到了x的范围，就要在这个范围内求这一个函数的最大值就可以了，所以把它当成一个函数好叫做 f x，给它去求解就行了。许老师2024高考数学100天提升038正四棱锥、体积最大。

²是六十四倍x立方减掉二十几倍根号二x的四次方，大家嫌麻烦也可以先把这个四给它提一提，都没关系。这里可以提出一个四倍x的三棱锥出来，前面还有个十六减去，这边还有个五倍根号二x。很明显这个x是个大于零的，所以只要看十六减去五倍根号二x的正负就行了。

这个分界点就是当x等于五倍根号二分之十六的时候，也就是五分之八倍根号二的时候，五分之八倍根号二是小于这个二倍根号二的，所以确实是在范围内有极致点的这个点在里面，从而可以得到占零到五分之八倍根号二这一段里面。

这个一字函数肯定是一个整数，函数是单调提升的五分之八倍根号二到二倍根号之间，这个一字函数是小于零，整个函数xd减，所以x的最大值。就等于当x取五分之八倍根号二的时候，距离多少这边就不再计算了，这个大家可以算，这里反正是可以很清楚算出来的。这里根号二和根号二是可以乘成一个整数的，这个体积微的最大值当然就出来了，并且题目里面最终结束只要求小圆的半径，小圆的半径其实就已经算好了，直接选c就可以了。

像很多的立体几何里面要求一个形状会发生一些改变的图形，最大体积或者最小体积的问题其实都会追究一个，都会把它归结为一个函数的问题。找到一个合适的量设它为 x，然后再把其的量一个一个用x表示出来。最终可以把体积用一个函数，关键是表示出来。函数如果简单一点可能是个二次函数，或者是可以用一些基本不等式，这里的方法可以去做，复杂一点可以通过倒影去处理，然后要稍微做一下这些自变量的阈值范围。

本期视频就到这边结束了，我是许老师，下期再见。