微积分基本定理

我们在高中时都学过的微积分基本定理 ( FToC)如下：

定理背后的直觉非常简单。从点a到点b的函数导数的积分是沿途所有微小“df”变化（我们可以非正式地说“dx”相互抵消）的总和。这实际上类似于Telescopic Sum，现在用连续世界（积分）而不是我们大多数人第一次遇到它的离散世界（系列）表示：

在上面的求和中，“内部”项在每一轮求和之后不断相互抵消，最后只剩下“边界”项，即第一个和最后一个。

我们现在要讨论的是如何利用上述定理的直觉来更深刻地把握高斯定理和斯托克斯定理背后的思想。

高斯定理

高斯定理，或众所周知的散度定理，指出矢量场穿过封闭二维表面的向外通量等于该表面所包围的整个体积上该场的总散度之和。我们以数学形式写：

不可否认，第一次看到它似乎有点令人生畏，但正如我们现在将要解释的那样，它背后的直觉实际上很简单，类似于我们之前看到的 FToC。

正如我们所知，矢量场在特定点的发散度是衡量矢量场在该点倾向于“展开”或发散的程度的量度。

因此，上述定理左侧的三重积分将向量场的所有这些趋势相加，以分散在表面“S”所包围的整个体积“V”上。

右侧上方曲面积分中的点积仅“拾取”法线，相对于封闭曲面，向量场的分量。在此基础上，右侧的表面积分计算了表面 S 上矢量场的总向外通量。

上述两个量（边界处的向外通量和体积中所有点的散度之和）相等的原因源于我们用来直观理解 FToC 的相同论点。

以类似于广义伸缩和的方式，当所有上述分歧加起来时，由于相反的分歧，体积中间会有很多抵消，矢量场中唯一“幸存”的部分是不能抵消的部分，即沿表面边界的正常部分，这是向外通量的另一个名称。

在处理这些定理时应牢记的一般思想如下：

导数（可以是标准导数、散度或旋度）在一个区域上的积分等于函数在该区域边界处的值。

我们将用这个思路来直观地理解本文的最后一个定理，斯托克斯定理。

斯托克斯定理

斯托克斯定理指出，三维表面上矢量场的总旋度等于该场沿该表面边界的循环。我们写：

同样，让我们​用一些更简单的词来描述我们刚才所说的。就像高斯定理关注矢量场的散度一样，斯托克斯定理关注矢量场的旋度。

矢量场的旋度是矢量场围绕所讨论点的旋度的量度。

因此，左侧的曲面积分将向量场沿特定三维曲面 S 卷曲的所有这些趋势相加。

右边的线积分有一个名字。它被称为矢量场的循环，它是矢量场倾向于围绕定向曲线 C （在本例中为曲面 S 的边界）循环多少的量度。

至此，矢量场相对于曲面的环流和总旋度相等的原因应该很明显了。表面内部卷曲的“相反”趋势相互抵消，最后剩下的是场的循环，即场在表面边界处的卷曲。

保持好奇。