这次我们来看看三个方程式, 三个未知数的方程组解(即平面方程组)的情况. 其中每一个方程可以看做代表了三维空间中的一个平面, 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解, 一个交点, 一条直线或一个平面;

方程组唯一解的情况

从行视图来理解就是三个平面相交于一点:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

经过矩阵变换后, 仍是三维空间;

解向量 x 在变换后, 与向量 v 重合;

向量 v 可以被矩阵 A 的列向量线性表出, 也就是落在列空间内;

方程组无解

其中三个平面交线相互平行, 不会有任何共同的交点, 所以无解:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

经过矩阵变换后, 空间被压缩为平面;

由于向量 v 在平面之外, 所以无法被矩阵的列向量线性表出, 落在列空间之外;

方程组有无穷解 - 解集为一条直线

三个平面相交于一条直线:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

空间经过变换被压缩为平面;

行列式为 0, 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 就在该平面上, 即在列空间内 ;

图形中红色细线上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

方程的通解为特解 + 零空间上解所有的线性组合:

方程组无穷解 - 解集为一个平面

三个平面实际就是为一个平面:

如果从矩阵变换的角度来理解的话, 请观察下图:

观察要点:

矩阵变换将空间压缩为一条直线;

行列式为 0 , 即逆矩阵不存在, 但解仍然存在, 因为 v 刚好就在这条直线上, 还在列空间内;

图形中浅蓝色平面上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

方程的通解为特解+零空间上解所有的线性组合:

这一次我们从行视图和列视图的几何角度理解线性方程组: 每个方程组都有一个线性变换与之联系; 当逆变换存在时, 就能用逆变换来求解方程组的解;逆变换不存在时, 行列式为 0, 就需要考察向量 v 是否落在列空间内了.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!