人是有收藏癖的，奇妙的是，数学宇宙中隐藏了好多种“收藏品”。它们看上去不太像是应该存在的东西，但它们确实存在于数学宇宙中，似乎有谁把它们“藏”在那里。

数学藏品有的稀有，有的常见，但不需要用钱购买，唯一需要的是足够的数学知识，使得你能发现和欣赏这些收藏品。

由于个人口味问题，我喜欢的数学收藏品多数是可以图形化的，而不是数字。但确实数学中，有很多数字是可以搜藏的，The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)[1] 列出了浩瀚数量的数字收藏品序列。

介绍3种比较形象的，我喜欢的数学收藏品。

强正则图（Strongly Regualr Grah）

这里的“图”都是图论里的图。正则图就是所有的点的度数相同的图，强正则图则增加了两个条件：

若两点相邻，则它们的共同邻居数量相等。若两点不相邻，则它们的共同邻居数量也相等。

加入这两个条件后，给定特定的定点数，是否能构造出强正则图就是一个有意思的问题。

有些强正则图比较普通，比如一个五边形：

或者utility graph:

有些则属于“高级“，比如（9,4,1,2)-强正则图：

16-cell:

让人惊叹的是有些“稀有”的强正则图，比如：

还有一个“传说级”的（99,14,1,2）强正则图。理论上它有99个点，每个点的度数是14。若两点相邻，则它们有一个共同邻居；若两点不相邻，则它们有两个共同邻居。

它目前还是一个传说，因为理论上它可以存在，但是目前还未证明。

无周期“王氏砖块”

“王氏砖块”（Wang tile）游戏是华裔数学家王浩（1921-1995）在1960年代提出的一个游戏。它使用正方形拼图，正方形的每条边有不同颜色。拼图时，要求相邻边的颜色相同，且正方形不能旋转。

1961年，王浩曾猜想，王氏砖块游戏只可能存在周期性的密铺。但偏偏他的学生Robert Berger在1963年就找到了可以无周期密铺的王氏砖块集合。“无周期密铺”的意思是可以进行没有周期的密铺，且无法进行周期性密铺。

Berger的第一版王氏砖块有上万块之多，后来不断有人刷新记录，发现了只用很少砖块构成的无周期“王氏砖块”。

用这些王氏砖块组合，可是构成一些神奇的无周期密铺，永不重复的填充模式：

18块：

13块:

2015年，有人证明了至少要11块王氏砖块，才能构成无周期密铺。美妙的是，用王氏砖块可以生成非常漂亮和美观的随机地图。比如：

扫雷局：

水管图：

岛屿地图：

这里[2]可以自己玩。

无周期的王氏砖块还与无理数相关。每一种无周期的王氏砖块，都有不可数种无周期密铺方法！这意味着，即使有无穷多（可数无穷）的人进行王氏砖块游戏，也无法穷尽王氏砖块的拼法。

纽结

纽结是最能满足人的收藏癖好的，所以有人做了这个纽结数据库[3]。浏览这个网站，如同在浏览集邮册一般。

点进每个纽结，都有详尽介绍：

即便有计算机帮助，人们至今也只能制作出12个交叉点以内的纽结全表。纽结问题里时常会有些令人吃惊的意外。

比如，最平凡的一个“圈”，称为“unknot”:

它的一个不变量（不变量就像是一个纽结的特征，一个标识），亚历山大多项式是“1”。但是这个纽结的亚历山大多项式，经过一番复杂计算，相消化简后，最后也是“1”：

不得不让人惊叹。

另外，unknot的另一个不变量，“琼斯多项式”也是1。但目前还不知道，是否还有一个纽结，如同上面的情况，它的琼斯多项式也是1。

我只能说，纽结看似简单，水很深。

以上就是我喜欢的三种数学藏品，希望你也喜欢！

参考资料

[1]

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®):

[2]

这里:

[3]

纽结数据库: