等价关系是一种二元关系.

设非空集合S和其上的二元关系~,满足：

（1）自反性：A~A；

（2）对称性：A~B,则B~A；

（3）传递性：A~B，B~C,则A~C.

则称~是集合S上的一个等价关系.

例子:

(1) 三角形的全等关系,三角形的相似关系是等价关系.

(2) 在一个班级里“年龄相等”的关系是等价关系.

但并不是所有关系都是等价关系，比如祖孙三代间的父子关系，只满足对称性，但不满足自反性和传递性。

数学上的等价关系可以用于分类。

设S＝｛Ai | i∈I｝是A的一个分类，规定～为： a~b ⇔ a与b属于同一个类

则～是A上的一个等价关系。

设～是A上的一个等价关系，对于a∈A，

令[a]＝{x | x ∈A ，x~a }.称[a]是集合A上包含a的一个等价类。

矩阵等价意味着两个矩阵的秩相等。

矩阵等价性质：

矩阵A和A等价(反身性）；

矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

由于秩相等这种关系在不同的矩阵之间满足自反、对称和传递的要求，所以矩阵的秩相等是一种等价关系。

这种等价关系可以将阶次相同的矩阵按照秩的不同进行分类：

上图的n+1个子集是包括0矩阵在内，0矩阵的秩等于0。也就是把所有的n阶矩阵按照秩的不同分为n+1类：秩为0 的矩阵、秩为1 的矩阵、秩为2 的矩阵.。。。。。。秩为n 的矩阵。

矩阵间的等价关系可以通过可逆矩阵进行判断：

而可逆矩阵又可以表示为初等矩阵的乘积：

初等矩阵又代表着一个初等变换：

所以，矩阵的等价关系是通过初等变换来进行判断的。因为矩阵的初等变换是一种最基本的步骤，这也说明，再复杂的数学问题，最终都必须通过一个个最基本的操作来完成。