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判别式法求最值

周游一生数学教育教学 499

前言:

今天我们对“x1x2的最小值”可能比较关怀,你们都需要知道一些“x1x2的最小值”的相关文章。那么小编也在网络上收集了一些对于“x1x2的最小值””的相关文章,希望各位老铁们能喜欢,你们快快来学习一下吧!

我们知道,一元二次方程ax^2+bx+c=0如果有实数根,那么根的判别式△=b^2-4ac≥0.

有关求最值问题,通过构造一元二次方程,然后利用根的判别式进行求解的方法叫做判别式法。请看如下各例:

例1 求二次函数y=2x^2-8x+3的最小值。

解析:把函数解析式整理为关于x的一元二次方程:

2x^2-8x+3-y=0,

因为x为实数,所以△=64-4×2(3-y)≥0,

整理,得:8y-40≥0,

解得:y≥5.

所以y最小值为5.

例2 设x为负数,求函数y=2x+1/x的最大值。

解析:把函数解析式整理为关于x的一元二次方程:

2x^2-yx+1=0.

因为x的实数,所以△=y^2-8≥0,y^2≥8,

所以y≥2√2或y≤-2√2,

因为x为负数,所以y<0,

所以y≤-2√2.

所以y最大值为-2√2。

例3 已知实数x,y满足x^2y-2xy-3x+y+1=0,求y的最小值。

解析:把方程整理为关于x的一元二次方程:

yx^2-(2y+3)x+y+1=0,

因为x的实数,所以△=(2y+3)^2-4y(y+1)≥0,

整理,得:2y+9≥0,y≥9/2.

所以y 最小值为9/2.

例4(2020年福建省中考题第25题)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,抛物线y=ax^2+bx+c经过A、B两点,交x轴于另一点C,BC=4,且P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的两点,当x1>x2≥5时,y1>y2.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若直线l2:y=mx+n(n≠10),当m--2时,求证:l2∥l1;

(3)若E时BC上的一点且不与端点重合,l3:y-2x+q经过点C,交AE于点F,试求△ABE和△CEF面积之和的最小值。

解析:(1)依题意,点A(0,10),B(5,0),C(1,0),

代入y=ax^2+bx+c可解得a=2,b=-12,c=10,

所以y=2x^2-12x+10;

(2)因为n≠10,所以l2:y=mx+n与l1:y=-2x+10是不同的直线,

又k相等,所以l2∥l1;

(3)因为l3:y=-2x+q经过点C(1,0),

所以0=-2+q,q=2,

所以l3:y=-2x+2,

设点E(t,0),0<t<5,

则BE=5-t,CE=t-1,

设直线AE的解析式为y=kx+10,

则0=kt+10,k=-10/t,

所以y=-10/t•x+10,

与y-2x+2联立,解之,得

x=4t/(5-t),y=(-10t+10)/(5-t),

所以F[4t/(5-t),(-10t+10)/(5-t)],

所以△CEF的边CE上的高为|(-10t+10)/(5-t)|=(10t-10)/(5-t),

设△ABE和△CEF面积之和为S,则

S=1/2•(5-t)•10+1/2•(t-1)•(10t-10)/(5-t)

=(10t^2-60t+130)/(5-t),

把它整理为关于t的一元二次方程,得:

10t^2-(60-S)t+130-5S=0,

因为t为实数,所以△=(60-S)^2-40(130-5S)≥0,

整理,得S^2+80S≥1600,

整理为:(S+40)^2≥3200,

因为S≥0,所以S+40≥40√2,

所以S≥40(√2-1),

所以S最小值为40(√2-1),

即△ABE和△CEF面积之和的最小值为40(√2-1).

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