一元二次方程作为初中数学代数里重要内容之一，在中考数学中一直占有重要的地位。如中考数学会考查一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法），运用一元二次方程去解决实际生活当中的问题等应用题，这些都是中考的常考考点。

同时，我们也要充分认识到，学好一元二次方程，可以为以后学好一元二次不等式、指数方程、对数方程、三角方程、函数、二次曲线等内容打下一个坚实的基础。

二次函数就是最直接的例子，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时的特殊情况。要想学好一元二次方程，首先要学好这些基础知识内容，如实数与代数式的基本运算、一元一次方程等。

什么是一元二次方程呢？

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析1：

已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，

所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的范围为3≤m≤4．

题干分析：

（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

解题反思：

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣b/a，x1x2=c/a，也考查了根与系数的关系。

熟记一元二次方程的解法：

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如（x+a）2=b的一元二次方程。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2xb+b2=（x±b）2。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

四种解法又各有特点，其基本思想是降次，只有准确把握，解方程时才会得心应手。值得注意：公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）当方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析2：

已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，

∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

∴m≥﹣1/12；

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

∵x12+x22=31+|x1x2|，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，

即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

∴m=2．

考点分析：

根的判别式；根与系数的关系．

题干分析：

（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．

解题反思：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根。

本题也考查了一元二次方程根与系数的关系。

一元二次方程根与系数的关系：

如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=﹣b/a，x1x2=c/a。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

值得注意：在实数范围内，利用一元二次方程根与系数的关系解题，必须注意b2-4ac﹥0的限制条件。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2﹣4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=b2﹣4ac.

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根。

通过解一元二次方程，运用一元二次方程解应用题等，在这些解题的过程中，我们要学会转化等数学思想方法的运用。

直白地讲，学好一元二次方程相关概念以及解法，是学好一元二次方程的前提条件。要想在实际生活问题中提炼一元二次方程，运用一元二次方程去解决实际问题，那么大家就必须学好转化思想方法。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析3：

某地2017年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，

得：1280（1+x）2=1280+1600，

解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），

答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，

解得：a≥1900，

答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

考点分析：

一元二次方程的应用．

题干分析：

（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2=2019年投入资金，列出方程组求解可得；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析4：

青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

考点分析：

一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．

题干分析：

（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；

（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案。

随着新课改的不断深入，现在的中考越来越考查考生的综合能力，如应用数学知识去解决具体的问题等。在平时的学习过程中，我们要结合一元二次方程的知识结构和具体问题，列出知识网络图，主动去探索发现问题，由特殊到一般地提出问题，不断提高思维能力，优化学习方式，掌握相应的解题方法，多动手、动脑、动口，肯定能学好一元二次方程。