今天有粉丝向老黄提问了一道超烧脑的数域判定问题。老黄放下了手中的所有工作，专心把它解决了。因为觉得在数域方面，这个问题还是挺有代表性的，而且不想让劳动果实浪费掉，因此决定分享出来，让大家看一看。题目看起来很简单：

证明：Q(三次根号2))={a+b三次根号2+c三次根号4|a,b,c∈Q}构成一个数域.

证：任取A=a1+b1三次根号2+c1三次根号4, B=a2+b2三次根号2+c2三次根号4∈Q(三次根号2),【根据数域的定义，判定数集是数域的第一步，都是要从数集中取出任意的两个元素，然后证明它们的和、差、积、商(除数非0)，结果都属于这个数集】。

A-B=a1-a2+(b1-b2)三次根号2+(c1-c2)三次根号4∈Q(三次根号2).【显然，差仍属于这个数集】

A*B=a1a2+2b1c2+2b2c1+(a1b2+a2b1+2c1c2)三次根号2+(b1b2+a1c2+a2c1)三次根号4∈Q(三次根号2).【本来根据数域的充要条件，只需证明差和商都属于这个数集就足够了，但是商证明起来太难，需要用到积，因此这里先证明积属于这个数集】

当|a2|+|b2|+|c2|≠0时, B≠0,【数域的必要条件，必须含有非零的元素，这也是求商的必要条件】

若c2=0, 则1/B=1/(a2+b2三次根号2)=(a2^2-a2b2三次根号2+b2^2三次根号4)/(a2^3+2b2^3)∈Q(三次根号2)；【这里可以证明在c2=0的特殊形式下，A/B属于Q(三次根号2)，即商符合条件】

若c2≠0时, 使C=三次根号4+d三次根号2+e=B/c2，【其中d=b2/c2, e=a2/c2，只要证明1/C属于Q(三次根号2),就有1/B属于Q(三次根号2)，从而A/B属于Q(三次根号2)，接下来的步骤超烧脑，还要考验计算的耐心，能做到的人恐怕不多】.

1/C=1/(三次根号4+d三次根号2+e)=1/[(三次根号2+f)(三次根号2+g)]【f,g是关于x的二次方程x^2+dx+e=0的两个根，我们可以根据二次方程的求根公式，反推出它们关于d,e的表达式，不过没有这个必要。它们可能是无理数，甚至可能是复数，但没有关系，我们只要它们的和f+g=-d, 积fg=e，就足够了，能得到这一步很关键，如果不能理解，从右往左反推过去，就能证明这一步是成立的】

=(三次根号4-f三次根号2+f^2)(三次根号4-g三次根号2+g^2)/((2+f^3)(2+g^3))【这里连续运用了两次立方和公式x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)进行分母有理化。当然f^3和g^3不一定是有理数，不过我们可以通过下面的转化，就可以证明这个分母(2+f^3)(2+g^3)就是有理数，接下来，把分子分母同时展开，得到：】

=(2倍三次根号2-2g+g^2三次根号4-2f+fg三次根号4-fg^2三次根号2+f^2三次根号4-f^2g三次根号2+f^2g^2)/(4+2(f^3+g^3)+f^3g^3))【看到这么复杂的式子，学渣可能死的心都有了，学霸则会非常开心，因为一眼就能看出问题已经可以解决了】

=(2倍三次根号2-2(g+f)+f^2g^2-fg(f+g)三次根号2+(f^2+fg+g^2)三次根号4)/(4+2(f+g)(f^2+fg+g^2)+f^3g^3))【这样子基本上就可以运用韦达定理，把f,g都化掉，用d,e代替了】

=(2d+e^2+(de+2)三次根号2+(d^2-e)三次根号4)/(4-2d^3+6de+e^3).

∵d=b2/c2, e=a2/c2∈Q, ∴1/C∈Q(三次根号2), 【a2,b2,c2在c2不等于0时的任意性，决定了d,e的任意性】

∴1/B=1/c2*/C∈Q(三次根号2),【也就是说，不论c2是不是等于0，1/B都属于Q(三次根号2)】

∴A/B=A*1/B∈Q(三次根号2), 【这里连续运用了两次任两个元素的积属于原数集，因此前面要先证明积的情形】，

∴Q(三次根号2)构成一个数域.【因为任两个元素的差和商（除数非0）都属于原数集，根据数域的充要条件，就可以知道原数集是一个数域了】

整个过程真的超复杂，没解出来之前也是超烧脑的。老黄一贯地希望有高手能够提供更简便的方法。期待中！