贝叶斯的倒推理

贝叶斯试图使用我们看到的中奖和未中奖彩票来分析彩票来源于整体彩票池的方法，本质上是在倒推。

我们需要先用假设向前推理，也就是说如果各种可能场景都成真的情况下，我们中奖的可能性有多少。这个被现代统计学家称为“可能性”的概率，给了我们解决问题所需要的信息。

例如，假设我们买了三张彩票，三张都中奖了。现在，如果这种彩票中奖率特别高，所有彩票都能中奖，那我们的买三中三的中奖率就肯定会一直发生，在这种情况下就是100% 的概率。

但如果只有一半的彩票能中奖，那我们三张彩票的中奖率就是1/2×1/2×1/2, 也就是1/8。

如果1000 张彩票只有一张能中奖，那么我们的中奖率将是1/1000×1/1000×1/1000，也就是1×10–9。

贝叶斯认为，因此我们应该判断如何能让所有彩票都尽可能中奖而不是一半能中奖，或者尽可能使一半的彩票中奖而不是1/1000。

在同等条件下，我们应该想象成所有彩票都中奖的概率比一半中奖的概率要高8 倍，因为我们在这种情况下买的彩票正好是8 倍多的中奖概率（100% 与1/8）。

同样的，一半的彩票中奖的概率正好是1000 张中一张中奖的1.25 亿倍，我们已经通过比较1/8 和1×10–9 而得知其中的原因。

这是贝叶斯论证的关键所在：从假设的过去向前推理，并奠定了理论基础，让我们可以向后找到最大的可能性。能够确定，如果你买了一张彩票并中奖了，那么至少有一半的彩票都能中奖的概率是75%。

拉普拉斯定理

1774年，在完全不知道贝叶斯以前做的工作的情况下，拉普拉斯发表了一篇雄心勃勃的论文，名为“事件原因的概率论”。在这篇论文中，拉普拉斯终于解决了如何从观察到的效果向后推理并找出可能的原因这一问题。

贝叶斯找到了一种比较两种假设的相对可能性的方法。但是在彩票这一问题上，这里的假设几乎就是无穷的——每一个中奖彩票可能的比例。

利用微积分这一曾备受争议却受到贝叶斯坚决拥护的数学学科，拉普拉斯能够证明这个巨大范围的可能性，这可以提取成一个单一的预估值和一个非常简洁的数字。

他表示，如果我们提前真的不知道彩票的情况，然后当我们第一次买的三张彩票中的一张彩票中奖了，我们可以推测奖池里彩票的总中奖比例为2 / 3。

如果我们买三张彩票，都中奖了，那我们可以推测总中奖比例正好是4/5。

事实上，如果买n 张彩票共w 张中奖，那么中奖率就是中奖数加1，除以所购买的数目加2，即（w+1）/（n+2）。

这种令人难以置信的简单方法，估计概率的简单方法被称为拉普拉斯定律，它很容易就能适用于任何你需要通过历史事件来评估概率的情况。

如果你做了10 次尝试，其中有5 次成功，拉普拉斯定律估计你的整体成功概率是6/12 或50%，这符合我们的直觉。

如果你只试一次便取得成功，拉普拉斯给的估计是2/3，这比假设你每次都赢更合理，也比普莱斯的观点更具可操作性。（它告诉我们，50% 或更大的成功概率有75% 的元概率。）

拉普拉斯继续将他的统计方法应用到广泛的时间问题上，包括评估男孩和女孩的出生率是否真正平均。（他发现，男婴其实比女婴的出生率稍高。）

拉普拉斯定律为我们在现实世界中，面对小数据时提供了第一种简单的经验法则。