动力系统描述了复杂物理现象的力学和行为，通常涉及到多个以某种方式相互耦合的微分方程。当常微分方程组（ODE）是线性的，意味着微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的；我们可以用线性代数技术同时解出所有的方程。

在本文中，我们关注一类特殊的线性常微分方程组，

其中x是一个解的向量，每个解都是时间t的函数，A是一个将所有解连接在一起的系数矩阵，它可能是时间t的函数。在A与时间无关的简单情况下（它的所有元素都是常数），线性系统通过简单的分离变量来求解：

其中x(0)是初始条件的向量。必须特别注意矩阵指数

它不等于矩阵At中每个元素的指数。这是许多学生在第一次学习线性代数和微分方程时常犯的错误。为了求出矩阵的函数，需要先找出矩阵的特定性质，然后用一种特殊的方法来求出它。一个非常有效的方法涉及到复分析中的一个概念，被称为柯西积分公式：

这允许我们计算函数f(z)/(z-x)在特定点x处的围线积分，假设在点z = x处有一个奇点。

在本文的例子中，我们想求At的函数值，所以我们写

I是单位矩阵。因为积分是一个线性算子，对一个矩阵求积分就相当于对它的每个元素分别求积分。这意味着只要矩阵(zI-At)有逆，f(At)就可以求值。一个基本问题是围线C的选择。我们要选择一个围线C，它包含矩阵At的所有特征值（包括实部和虚部）。一种可能是选择一个以原点为圆心，半径为R的圆

不等式右边是矩阵的范数。这意味着我们首先需要计算At的特征值。

让我们看看下面的例子：

它有解

我们想要找到At的特征值，所以我们解行列式方程

在这种情况下是

由此我们可以很容易地得出结论

这意味着对于积分的围线，我们可以选择一个半径圆

这完全包含了任何时刻t≥0的特征值。接下来，回想一下2x2矩阵的逆是

我们求得了逆函数

接下来，计算

这和下面的函数是一样的：

由此，我们继续对每个积分分别求值：

这里，我们作以下处理：

因此，

并最终

这意味着两个解是：

我们可以通过对两个表达式求导来验证

从而得到了原始的常微分方程组

值得注意的是，该方法可以进一步推广到时变系数矩阵。例如，给定

我们发现

矩阵指数由柯西积分公式给出