概率中通常将试验的结果称为随机变量。随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。

掷硬币就是一个典型的离散型随机变量，离散随机变量可以取无限个但可数的数值。而连续变量相反，它在某一个区间内能取任意的数值。时间就是一个典型的连续变量，1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。

既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。

对于离散型随机变量x，定义一个概率函数叫f(x)，它给出了随机变量取每一个值的概率。

拿出一个骰子，掷到6的概率是f(6) = 1/6，掷到1和6的概率则是f(1)+f(6) = 1/3。

数学期望和方差

现在有一个运营活动，两套抽奖概率方案，如下：

作为运营人员，应该怎么衡量两种抽奖方法的好坏呢？

数学期望是对随机变量中心位置的一种度量。是试验中每次可能结果的乘以其结果的总和。简单说，它是概率中的平均值，可以用期望对比两套方案。

假设一等奖成本1000元，二等奖成本500元，三等奖成本100元，欢迎下次再来当然没钱，而用户参加一次抽奖需要10元。我们将概率问题转换成运营方的收益和成本计算期望（下面的盈亏是公司角度的）。

于是E(x) = (-990*5%)+(-490*10%)+(-90*20%)+(10*65%) = -110。也就是说，A方案能够期望每次抽奖运营方亏损110元。计算一下B方案，则是亏损150元。如果从用户的角度看，每一次抽奖的期望则反过来，即一等奖能受益990元，二等奖能受益490元…A方案玩一次平均收益110元。

想必大家已经知道了如何设计活动的盈亏机制，感兴趣可以自行调节中奖概率和成本。

期望值衡量概率的平均值，可是抽奖本来就是很激动人心的事情，哪怕明知道会赔钱，人们还乐此不疲，为什么？因为风险，因为以小搏大。

方差就是这种风险的度量，即随机变量的变异性。它和描述统计学的方差是一个含义。

方差越大，随机变量的结果越不稳定，计算A方案的方差如下：

方差最后为62600，说明期望的波动很大。标准差为sqrt(62600) = 250.19，代表每一次的抽奖，与期望收益-110的距离是250.19元。

到这里，概率和期望方差的基本玩法已经讲完了。

二项概率分布

二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义，二项代表它有两种可能的结果，把一种称为成功，另外一种称为失败。

除了结果的规定，它还需要满足其他性质：每次试验成功的概率均是相同的，记录为p；失败的概率也相同，为1-p。每次试验必须相互独立，该试验也叫做伯努利试验，重复n次即二项概率。

掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：

假设抛硬币5次，恰巧有3次正面朝上，则其概率为31.25%。可以使用Excel中的BINOM.DIST函数计算。

不妨把题目变化一下，变成计算硬币至少有三次正面朝上的概率是多少？有一种简单的方法是累加，将恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，结果便是至少3次，为50%。

回到运营活动的例子，上面一个运营活动公司亏惨了，现在运营需要重新做一个抽奖活动，每位用户拥有10次抽奖机会，中奖概率是5%。老板准备先考虑成本问题，想知道至少有3次以上中奖机会的概率是多少？

按照上题的思路，可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是这样太麻烦了。此时可以换一个思路，先计算最多2次的概率是多少。那么便是f(0)+f(1)+f(2)，结果是92.98%，利用概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，为7.02%。看来老板还是能松口气的。

二项概率的数学期望为E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。抽奖10次，那么抽奖的期望值就是0.5，方差为0.%*0.95。

运营学会二项分布，在涉及概率的各种活动中，将变得游刃有余。它的原理甚至能用到AB测试。大学考试中二项概率需要查专门的概率表计算，不过现在各类工具层出不穷，Python、R、Excel都能直接计算。

泊松概率分布

泊松概率是另外一个常用的离散型随机变量，它主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。

泊松概率的成立条件是在任意两个长度相等的区间中，时间发生的概率是相同的，并且事件是否发生都是相互独立的。

泊松概率既然表示事件在一个区间发生的次数，这里的次数就不会有上限，x取值可以无限大，只是可能性无限接近0，f(x)的最终值很小。

x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：

现在又举办了一个新的运营活动，这次的中奖概率未知，只知24小时内中奖的平均个数为5个，老板异想天开地想知道24小时内恰巧中奖次数为7的概率是多少？

此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数就是期望），代入公式求出概率为10.44%。Excel中的函数为POISSON.DIST。

接下来继续加大问题难度，求中奖次数至少7次的概率。此时f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%，那么至少七次的概率为13.33%。

如果问题变成12小时内呢？老板希望知道12小时内中奖次数为3次的概率是多少？

24小时内中奖概率的期望数是5，那么12小时内的中奖概率期望数是2.5，于是令u=2.5，求出12小时内中奖次数为3的概率是79.99%。

泊松概率还有一个重要性质，它的数学期望和方差相等，所以上题的方差为2.5，标准差为根号2.5，即1.58。

正态分布

上述分布都是离散概率分布，当随机变量是连续型时，情况就完全不一样了。因为离散概率的本质是求x取某个特定值的概率，而连续随机变量不行，它的取值是可以无限分割的，它取某个值时概率近似于0。连续变量是随机变量在某个区间内取值的概率，此时的概率函数叫做概率密度函数。

正态概率分布是连续型随机变量中最重要的分布。世界上绝大部分的分布都属于正态分布，人的身高体重、考试成绩、降雨量等都近似服从。

正态分布如同一条钟形曲线。中间高，两边低，左右对称。想象身高体重、考试成绩，是否都呈现这一类分布态势：大部分数据集中在某处，小部分往两端倾斜。

正态概率密度函数为：

是不是看得头晕了？u代表均值，σ代表标准差，两者不同的取值将会造成不同形状的正态分布。均值表示正态分布的左右偏移，标准差决定曲线的宽度和平坦，标准差越大曲线越平坦。

以前介绍过一个正态分布的经验法则：

正态随机变量有69.3%的值在均值加减一个标准差的范围内，95.4%的值在两个标准差内，99.7%的值在三个标准差内。这条经验法则可以帮助我们快速计算数据的大体分布。

均值u=0，标准差σ=1的正态分布叫做标准正态分布。它的随机变量用z表示，它是推断统计的基础。将均值和标准差代入正态概率密度函数，得到一个简化的公式：

现在可以用简化的公式计算概率密度了。首先学习一个新的函数叫累计分布函数，它是概率密度函数的积分。用P(X<=x)表示随机变量小于或者等于某个数值的概率，F(x) = P(X<=x)。

曲线就是概率密度函数，当x取某个值时，曲线上f(x)点的数值即表示随机变量在对应的x点值的取值概率，曲线与X轴相交的阴影面积就是累计分布函数。我们不妨把概率密度函数按其名字简单理解成「密度」，毕竟连续变量只有在区间中才有计算的意义，于是密度函数充当了辅助计算的角色。分析中我们更多实用累计分布函数。

标准正态分布中，给定一个值z，可以计算随机变量z小于等于某一个值的概率；z在两个值之间的概率；以及z大于等于一个值的概率。这三种计算都用到累计分布函数，分别记作P(z<=x)，P(x1<=z<=x2)，P(z>=x)。

首先计算z小于等于1的概率，即P(z<=1)。由excel 的函数NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值为0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理，P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。

若要计算z在区间-1～1.25的概率，即P(-1<=z<=1.25)。可以将其拆解为公式：P(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) - P(z<=-1) = 0.735。

如果大家在公式转换中有困惑，不妨结合上面的阴影图看。靠左的阴影即z小于等于0.8时(目测)的概率，如果我们要算0～0.8之间的概率呢？就是把z<=0的那一半给挖掉，非常粗暴的算法。

到了这里大家可能发觉，在正态分布的计算中，不论求哪一类区间，我们都是先转换成z小于等于某个值先计算。这是一个潜移默化的规则，因为早期正态概率的计算都要用到标准正态概率表，它以z小于等于作查询标准。现在虽然计算资源已经大大丰富，但是这个习惯还是保留了下来。

之所以强调标准正态分布，是因为所有的正态分布概率都可以利用标准正态分布计算。当我们具有一个任意均值的u和标准差σ，都能将其转换成标准状态分布。

现在有一个u=10和σ=2的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？

当x=10时，z=(10-10)/2=2。当x=14时，z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之间的概率等价于标准正态分布中0和2之间的概率。计算P(0<=z<=2) =P(z<=2) - P(z<=0) =0.4772。

现在是最后一个运营活动了，不再是抽奖，而是最终赠送奖品的环节。已知奖品的保质期满足正态分布，均值90天，标准差5天。为了考虑用户体验，想知道奖品70天以内就坏的概率是多少？

当x=70时，有z=(70-90)/5 = -4。p(z<=-4)=0.003%。概率非常小，可以忽略不计，所以产品质量杠杠的。经历了那么多活动，老板终于可以松一口气了。

在概率分布中还有一个概念叫正态近似。当试验次数很大时，二项分布可以近似于正态分布，泊松分布也有相似的情况，大家有兴趣可以去了解，这是一种简便方法，不过工作中现在都是计算机了，这点反而不重要了。

原文转自：