为了配合新高中生学习指数律这个知识点，我在这里为同学们解读一些重点指数律的意义，并且加深加宽了指数律的学习范围。希望同学们能够认真研读教材和教参中的有关解析部分，同时也能够认真阅读这个讲义稿。如果与现行教材有不相符的地方，均以教材为准。在这里我只是给同学们提供一些帮助和参考资料。

(文中使用的符号"^"为指数符号，"√"为根号，"/"为分数线符号)

一、正整数指数幂

(1)、α^n.α^n=α^n+n

(2)、(α^m)^n=α^mn

(3)、(αb)^n=α^n.b^n

(4)、α^m÷α^n=α^m-n

(以上四式，α≠0且m>n)

注意(4)式也要理解为，是分别等于下面三个式子，经整理后所得到的一般式子，即。

α^m÷α^n=

(一)、α^m-n，(m﹥n)

(二)、1，(m=n)，(α≠0)

(三)、1/α^n-m、(m<n)

一般式子

α^m÷α^n=α^m-n

(α≠0且m>n)

(5)、(α/b)^n=α^n/b^n

(b≠0)

(m，n为正整数且m>n)

解读上面五个运算公式

(1)、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

(2)、幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(3)、积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(4)、同底数幂相除，底数不变，指数相减。

(5)、分式的乘方，把分子分母分别乘方。

还要说明的是，整数指数律的主要作用，我们应用整数指数律可以简化许多乘法运算，使运算简捷简便科学。注意同底数相除时还要分为第(4)式的三种情况进行讨论，应用的时候就感到不太方便。因此有必要再进行推广幂的概念，必免不必要的复杂现象发生，但是必须遵守操作原则。这个操作原则就是，幂的概念推广以后，指数律能够继续适用。不然的话原来的指数律就不能适用，那么这样的推广就失去了意义。

二，零指数幂

零是整数，当然零指数幂属于整数指数幂。把零指数幂从整数指数幂的大家庭中提出来进行专题讨论，目的就是使同学们能够更好的理解和掌握零指数幂的意义和应用。

我们知道在第(4)式中，

当m>n时

α^m÷α^n=α^m-n

实际上就是，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

为了能够使这个指数律m-n的情况下也能够适用，我们就推广出，

α^n÷α^n

=α^n÷α^n

=α^n-n

=α^0

这个推广我们看到，经过这样的讨论就产生了"零指数幂"。于是我们又得到了

α^n÷α^n=1

我们再观察比较一下这两个式子，这就充分证明我们规定的

α^0=1，(α≠0)

这个规定是即合情又合理。

定义，α^0=1，(α≠0)

例如，(98)^0=1

(-√2/2)^0=1

(x+y)^0=1

(b/α)^0=1

三、负整数指数幂

负整数指数幂也属于整数指数幂的范围，单提出来进行解读，也是为了使学生能够更好的理解和掌握。

注意，0^0≠1，即零的零次幂没有意义，上面的操作法则已明确规定α≠0。

我们再进行讨论，当m﹤n时，例如m=3，n=5，为了使同底数幂相除，"底数不变指数相减"这个指数律也能适用，就必须使下面的等式成立

α^3÷α^5=α^3-5=α-²

这样又产生了负整数指数幂，于是又推广出

α^3÷α^5=α^3/α^5=1/α²

很明显我们规定

α^-2=1/α²是完全正确的

定义、α^-K=1/α^k

操作法则，α≠0，K为正整数

例如:2^-1=1/2，

α^-7=1/α^7

(-√6)^-2=1/(-√6)²=1/6

还应该注意，零的负整数次幂没意义。那么我们就可以将上面第(4)式的三种情况统一规定为，同底数相除指数相减的形式。(在前边已经做了一点说明)

即

(4)、α^m÷α^n=α^m-n

操作法则，α≠0

注意，当产生了零指数幂和负整数指数幂的定义之后，那么整数指数律，(1)到(5)不仅在m，n是正整数时成立。当m，n是任意整数，正的、零、负的也都成立。

例如

10²ⅹ10^-7=10^2+(-7)

=10^-5

=1/10^5

即

10²X10^-7

=10²1/10^7

=1/10^5

所以

α^mⅹα^n=α^m+n

注意，同底数相乘，底数不变，指数相加。

当m、n中有负整数时仍然成立。

通过上面的论证我们的结论是，指数的概念不是永远不变的。它在一定的基础上不断向前推广和发展，现在指数已经推广到了任意整数。因此我们就不能总是用正整数幂的基础意义来理解，α的零指数幂和α的负整数指数幂。因为α^0不是表示"0个α相乘的意思；α^-K也不是表示"-k"个α相乘的意思，即

α^0=1，

α^-k=1/α^K

注意、α^-K=1/α^K也是一个分式的变形。

同学们根据指数律的定义自己练习

计算、6α²b²n/3αb²n

同学们你们能证明下面的等式吗？请你来证明。还要说明你应用了哪些指数律的规则来证明的

求证

α^-K/b^-k=α^-K.1/b^-K

("."为乘号)

同学们自己再独立分析下面几个等式，分析后自己进行总结规律

0.1=10=10^-1

0.01=1/100=1/10²=10^-2

0.00…0.1=1/10^n

=10^-n

四、根式变形规则

(1)、基本规则公式

np^√α^mp=n^√α^m，(α>或=0)

注意，等式左边np为根指数，等式右边n为根指数

(2)、乘法规则公式

n^√αbc=n^√α.n^√b.n^√c

注意，等式左右n均为根指数

利用乘法规则公式，可以对根式进行变形

(1)把根号内的因式移到根号外，使被开方式的每一个因式的指数都小于根指数。

例如、√4α^3.b

=√4α².αb

=√4α²√αb

=2α√αb

(3)、除法规则公式

√b/α=1/α√αb

利用除法规则公式可以把根号外的因式移到根号内

例如、

2√7/2

=√2²ⅹ7/2

=√14

利用除法规则公式还可以化去根号内的分母

例如、

√2b/3α

=√2b.3α/3α.3α

=√6αb/(3α)²

=1/3α√6αb

根据基本规则公式，可以使根式能约简的都约简。有因式可以提到根号外的全提出来，根号内有分母的全化去，要做到分母有理化。

这样变形后得到的根式，叫做最简根式。即被开方数的指数小于根指数，而且是互质的。

例如

√b/α=1/α.√αb

(4)、乘方规则公式

(n^√α)^m=n^√α^m(α>0或=0)

注意，n为根指数

利用乘方规则公式可以在计算时进行化简根式

例如

(3^√2αx²)²

=3^√4α²ⅹ^4

=ⅹ.3^√4α²ⅹ

根式的运算和根式化简与整式，分式类似，加减法的基本规则是去括号与合并同类根式。乘法是应用分配律，特殊情况还可以用乘法公式。除法相当于分式根式相乘除，但必须把根式化成同类根式。

在代数里，如果分母含有根号计算时比较复杂，应先把它去掉。

把分母中的根号去掉，可以把分式中的分子分母都乘以一个适当的代数式

五、分数指数幂

(1)、分数指数幂与根式的互化规则公式

(一)、α^m/n

=n√α^m

(α>0或α=0，

m，n是正整数)

(2)、负分数指数幂与根式的互化规则

α^-m/n

=1/n^√α^m

(α>0，m，n是正整数)

(3)、对于分数指数幂它的运算应符合幂运算的指数律，即

α^x.α^y=α^x+y

同底数相乘，底数不变，指数相加

(α^x)^y=α^xy

(幂的指数，底数不变，指数相乘)

(αb)^x=α^x.b^x

(积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)

注意操作法则，x，y可以是正负整数和零，也可以是正负分数，简单说可以是任何有理数。

我们利用分数指数幂可以把根式的运算转化为幂的运算，特别是当根式乘除乘方和开方运算时，利用分式指数幂要比直接应用分数指数幂比直接用根式要简便。

关于重点指数律的解读就到这里，有些地方是个人的关点和见解。在解读过程或者在书写的过程中有错误的地方均以现行教材为准。

(错误的地方，欢迎读者和审核老师给予批评指正，谢谢！)