好的，我们来玩点有意思的。玩什么呢？在经典力学里，我们学过牛顿力学、拉格朗日力学以及哈密顿力学。我想用这三种不同的方法解决同一个问题，然后比较一下它们的异同，看看各自的优缺点以及什么情况下应该用哪种方法。好，我们这就开始吧。我先把摄像头关了，不然我写字的时候你们就看不见我了。

好了，让我把这个挪开一点。哎，挡住了。好了。

我想解决的问题是这样的：一个滑块沿着没有摩擦力的斜面下滑。滑块质量为m，斜面倾角为θ，我想用三种不同的方法求出它的运动方程。第一种方法，也是我们最先要讲的方法，是牛顿力学。这是大学物理入门课的内容，它告诉我们，如果我们知道一个物体受到的所有力，那么这些力的合力就等于物体的质量乘以加速度。当然，你也可以写成合外力等于动量对时间的导数，这两个式子本质上是一样的，在大多数情况下都适用，有些情况下用动量的式子会更好，但我们这里就用最常见的那个。

∑F⃗ = ma⃗

或者

∑F⃗ = d⃗/dt

在拉格朗日力学中，我们把拉格朗日量定义为动能T减去势能U。实际的运动会使得拉格朗日量取最小值，这就是所谓的变分原理。也就是说，我们要找到一个函数，使得某个积分的值最小，为了解决这个问题，我们需要用到欧拉-拉格朗日方程。用欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到下面这个式子：L关于qi的偏导数。qi是我们用来描述系统的任意变量，可以有多个这样的变量，比如q1，q2等等。

然后是q点。q点指的是qi对时间t的导数。我们用一个点来表示对时间的导数，这样写起来比较简洁，而且看起来也比较专业。就这样。如果我们解出这个方程，就能得到一个描述物体运动的微分方程。

∂L/∂qi - d/dt (∂L/∂q̇i) = 0

最后，我们还有哈密顿力学。哈密顿量看起来有点奇怪。我们等会用到它的时候再解释为什么要用它。因为我们可以根据拉格朗日量来求解哈密顿量。你可能会想，既然这样，为什么还要用哈密顿量呢？

我得先求拉格朗日量。嗯，你不需要用欧拉-拉格朗日方程。你只需要找到拉格朗日量。然后，把所有的动量，广义动量，乘以对应的速度，再减去拉格朗日量，就能得到哈密顿量。接下来我们有两个方程。

速度，q点，等于哈密顿量对动量的偏导数。动量对时间的导数，也就是动量的变化率，等于哈密顿量对q的偏导数的负值。所以我们有两个方程。

q̇i = ∂H/∂pi

ṗi = - ∂H/∂qi

好，让我继续说，哈密顿量，嗯，我们还是等到具体解决问题的时候再讨论它吧。

所以我们先用牛顿力学来解决这个问题，然后再用拉格朗日力学，我会在讲到它们的时候再详细解释。我们先来看牛顿力学。这个问题用牛顿力学来解决其实并不简单，除非你用一个小技巧。如果我们用牛顿力学，首先要知道物体受到哪些力。我这里画了，我应该没有画质量，有向下的重力mg，还有斜面和滑块之间的接触力，也就是支持力，就这两个力。

所以我可以写出合力等于支持力n加上重力mg，等于质量m乘以加速度a。这是一个矢量方程，对吧，因为虽然重力mg是竖直向下的，但这仍然是所有力的矢量和，所以你还是要像这样把它们加起来。现在问题在于支持力。这是一个接触力，它会根据需要给滑块一个大小合适的力，以防止滑块穿透斜面。我们不知道这个力的大小，也没有一个方程可以计算它。

所以你可能已经猜到了，这里的小技巧就是选一个合适的坐标系，使得我们不需要考虑支持力。如果我们把x轴沿着斜面方向，y轴垂直于斜面，那么我们知道滑块的运动被限制在x轴方向上，所以y方向的合力为零，因为y方向的加速度为零，我们甚至不需要考虑y方向的力。我们想要求的是加速度，如果y方向的加速度是零，那我们就不用管它了，对吧？我们把它设为零，不是解出来的，而是根据实际情况判断它必须为零，你明白这其中的区别了吧，所以我们确实是“作弊”了，我们利用系统的约束条件来确定y方向的加速度为零，而不是通过力的分析来求解加速度。现在我们可以在x方向上做同样的事情，x方向的合力等于，我们把它写成mgx，等于max。

如果我们这样画坐标轴，这是重力。如果这个角是θ，那么这个角也是θ。现在我们有了y方向和x方向的分量。如果重力的大小是mg，那么x方向的分量就是mg sinθ。所以我们得到mg sinθ等于max。

mg sinθ = ma_x

质量m可以消掉，我们得到ax。我把它写成x的两点，这样看起来更专业，对吧？这是经典力学，我们可以这样写。

这表示加速度是位置的二阶导数，它等于g sinθ。

ẍ = g sinθ

到这里我们其实已经解决了这个问题，但我还是把它写完吧。我们怎么求x关于时间t的函数呢？我们可以对两边积分。

我得到了这个。这些东西都是常数。x的两点对时间的积分就是x的一点，然后这边是g sinθ t加上一个常数。这个常数表示t等于0的时候x的一点的值，所以应该是加上x一点的初值。

现在我们再积分一次，左边是x。右边是1/2 g sinθ t的平方。这里会多一个t，加上x0.t，然后我们还要考虑t等于0的情况，所以再加上x0，这就是滑块沿着斜面下滑的运动方程。我们只是稍微“作弊”了一点，对吧，但这就是牛顿力学。通常情况下，如果我们可以计算出所有力的大小，那么用牛顿力学解决问题就会比较简单。

如果我们知道所有力的表达式或者它们的值，那么接下来的步骤就很直接了。我们最后可能会得到一个比较复杂的方程，但是得到这个方程的过程并不复杂。但是如果系统中存在约束力，那么问题就会变得比较困难，我最后会举一个例子，说明在这种情况下你可能就不想用牛顿力学了。好，现在我们来看看。现在我们用拉格朗日力学来解决同一个问题。

首先我们要写出拉格朗日量L等于动能T减去势能U。我们需要找到拉格朗日量。拉格朗日力学的好处在于我们不必使用笛卡尔坐标系。我们可以用任何我们想要的坐标系。当然，如果你不用笛卡尔坐标系，那么计算动能可能会比较麻烦，但你仍然可以这样做。在这个问题中，系统只有一个自由度，所以我们只需要一个变量。如果我们能找到一个变量，可以完全描述系统的状态，那么我们就完成了。我们选这个。

从斜面顶端到滑块的距离，我们把它叫做s。这就是我们的变量。如果我们知道s的值，就知道滑块的位置了。为了方便起见，我们把斜面的高度叫做h。现在我们怎么计算动能呢？我们知道动能T等于1/2 mv²，你可能会说，s点不就是速度吗？动能就是1/2 ms点的平方，这样想也没错。

但是我们还是完整地推导一遍吧。我们假设，这是xy坐标系的原点。滑块的运动轨迹与水平方向的夹角是θ，对吧，这个角就是θ，所以我们可以写出x等于s cosθ，y等于h减去s sinθ。对吧？因为如果我们把s分解成水平方向和竖直方向的两个分量，水平方向的分量就是x，它等于s cosθ。

y方向的分量是从h减去s的竖直方向分量，也就是h减去s sinθ。现在我们可以求x点。x点是什么？它是x对时间t的导数。cosθ是常数，所以x点等于s点cosθ。y点呢？

y点是y对时间t的导数，h是常数，所以y点等于负s点sinθ。现在我们把x点和y点平方，x点的平方加上y点的平方等于s点的平方乘以cos²θ加sin²θ，等于s点的平方。对吧？因为cos²θ加sin²θ等于1。

所以动能，正如我们所想的，T等于1/2 ms点的平方。

T = 1/2 m ṡ²

那么势能呢？我们可以用mgy来表示势能。这很简单。我们已经知道了y的表达式，所以势能U等于mgh减去mgsinθ。

U = mgh - mg s sinθ

所以拉格朗日量L等于1/2 ms点的平方减去势能，也就是负mgh加上mgsinθ。我把负号提出来，然后乘到括号里面。这样可以吧？可以。

L = T - U = 1/2 m ṡ² - mgh + mg s sinθ

我们等会算哈密顿量的时候还会用到这个式子。所以我把它框起来。一旦你把它框起来，就表示它很重要。你完成了这一步。好的。

好的。现在我们需要用欧拉-拉格朗日方程，所以我们需要求L关于s的偏导数。L关于s的偏导数，这里没有s，这里有一个s点，这里也没有s。这里有一个s，对吧？所以我们有mgs sinθ，这是唯一含有s的项。

所以L关于s的偏导数就是mgsinθ。

∂L/∂s = mg sinθ

现在我们来求L关于s点的偏导数。哪些项含有s点呢？只有这一项。我们用幂函数求导法则，把2降下来，得到2/2 ms点，也就是ms点。

∂L/∂ṡ = mṡ

现在我们需要求它对时间t的导数。对时间t的导数等于，m是常数，所以我们只需要求s点对时间t的导数，也就是ms的两点。

d/dt (∂L/∂ṡ) = mṡ̈

现在我们可以把这个式子代入欧拉-拉格朗日方程，得到ms的两点等于mgsinθ。

mṡ̈ = mg sinθ

质量m可以消掉，我们得到s的两点等于gsinθ。

ṡ̈ = g sinθ

这和我们之前用牛顿力学得到的方程是一样的。对吧？我们之前用x表示位移，现在用s表示位移，它们是同一个方向，所以我们得到了相同的方程。我们没有必要再解一遍这个方程，积分两次。这很容易做到，但我们已经做过了，所以我就不再重复了。好的。

我们解决了这个问题。我们得到了微分方程。得到微分方程是物理的部分。解微分方程是数学的部分，你可能可以写出解析解，也可能需要用Python来求数值解，或者用其他的方法，只要能解出来就行。

好的。现在我们来看哈密顿力学。我们还是回到这里。我们还是用s作为变量。在哈密顿力学中，我们也不必使用笛卡尔坐标系。

我们还是用这个。对不起。我刚才用拉格朗日量画了个箭头。我们首先需要找到哈密顿量。

要找到哈密顿量，我们需要先知道拉格朗日量。我们已经有了，1/2 ms点的平方减去mgh加上mgsinθ。我们之前已经算过了。哈密顿量H等于，我把它写出来，所有pi qi点的和减去L。我们需要先找到pi。

对吧？我们需要找到动量。动量p等于ms点。对吧？它是质量乘以速度。

p = mṡ

在这个问题中，我们可以直接这样写。还有另一种方法可以用来验证这个式子是否正确，因为有时候它并不总是正确的。你知道，如果你考虑圆柱坐标系或者球坐标系，动量并不总是等于质量乘以速度，但在这个问题中它是正确的。我们只有一个变量，所以H等于pms乘以s点，也就是ms点的平方。然后我们需要减去拉格朗日量，也就是减去1/2 ms点的平方，加上mgh，减去mgsinθ。

这里我们有ms点的平方减去1/2 ms点的平方，等于1/2 ms点的平方。然后加上mgh，减去mgsinθ。你会发现，这是动能T，这是势能U，所以哈密顿量H等于动能加势能，也就是系统的总能量。在这个问题中，哈密顿量等于总能量，但它并不总是等于总能量。好的，你一定要记住这一点，在量子力学中也是一样。我们在量子力学中也用哈密顿量，但我们把它看作一个算符，所以它和经典力学中的哈密顿量略有不同，但它们本质上是同一个东西，只是想让你知道这一点。我们现在有了哈密顿量，可以用哈密顿方程了。第一个方程是s点等于H关于p的偏导数。好的，这是我们的H。

哦，不，我们还不能这样做。我们需要先把H用p来表示，对吧？这里有一个s点，s点等于p除以m，我们把它代入H的表达式，得到H等于p的平方除以m的平方，也就是p的平方除以2m，其中一个m消掉了。然后加上mgh，减去mgsinθ。

H = p²/2m + mgh - mgs sinθ

现在我们可以求s点了。s点等于H关于p的偏导数。这里只有一项含有p，就是这一项，我们用幂函数求导法则，把2降下来，得到2/2 p除以m，也就是p除以m。这就是s点。我们把它框起来。

ṡ = ∂H/∂p = p/m

现在我们来看第二个方程，p点等于负H关于s的偏导数。

s在哪呢？这里有一个s，mgs s s s，这里要扣2分，因为你写错了。好的。对不起。这是我的错，但我已经发现了。

是的。好的。我的错误在于，我写了mgs s。对吧？我连续写了两个s。

所以H关于s的偏导数就是，唯一含有s的项是这一项，所以H关于s的偏导数是负mgsinθ，但是前面还有一个负号，所以p点等于mgsinθ。

ṗ = - ∂H/∂s = mg sinθ

这里有一个重要的区别，拉格朗日力学和哈密顿力学的区别。我们得到了一个解。我们有两个一阶微分方程，而拉格朗日力学只有一个二阶微分方程，这就是它们的区别。好的。

我们来求s的两点。我们对这个式子的两边求导，得到s的两点等于，空间不够了。永远不会空间不够。s的两点等于p点除以m。

我们已经知道了p点的表达式，就在这里，所以s的两点等于mgsinθ除以m，等于gsinθ。

ṡ̈ = ṗ/m = g sinθ

我们得到了相同的方程。好的。我们用三种不同的方法得到了相同的微分方程。所以在这种情况下，你可以用任何一种你喜欢的方程来解决问题。

好的。我们来思考一些问题，以及你会如何解决它们，你会选择哪种方法。我先告诉你，哈密顿力学，你可能看不出它有什么优势。好的？你可能看不出哈密顿力学和牛顿力学、拉格朗日力学相比有什么优势，但它在量子力学中非常重要。

它在统计力学中也用于描述包含大量粒子的系统。事实证明，它在这些领域非常有效。好的。但在经典力学中，它看起来和拉格朗日力学差不多。好的。

我们来思考这个问题。这是一个物体绕着行星运动。你会用哪种方法来求它的运动方程呢？你可以用牛顿力学。我们可以写出合力等于质量乘以加速度，

F⃗ = ma⃗

然后拉格朗日量L等于动能T减去势能U。

L = T - U

我，我，我把它写出来吧。哈密顿量H等于，它是什么，qi，它是qi，它是pi qi点减去L。

H = ∑_ip_i q̇_i - L

你会选择哪一种方法呢？在这个问题中，我们可以直接写出万有引力的表达式，这是一个我们知道的公式，

F⃗ = -GMm/r² r̂

我们可以计算出物体在任意位置受到的万有引力，所以我们可以用牛顿力学。好的，除非你用一些技巧或者用数值方法求解，否则计算过程会比较复杂。我们也可以用拉格朗日力学，对吧，因为我们可以计算出动能和势能，

T = 1/2 m (ṙ² + r² θ̇²)

U = -GMm/r

然后就能得到拉格朗日量。哈密顿力学也适用，所有这些方法都适用。我们之前解决的滑块下滑的问题，所有这些方法都适用。那这个呢？

一个单摆。这个问题不太容易，对吧，因为力是什么？有向下的重力，还有绳子的张力。张力的方向和大小都会发生变化，对吧，因为张力会根据需要调整大小和方向，以保证物体做圆周运动。当物体运动速度变快时，张力也会变大。所以这个问题并不简单。你可以用能量守恒定律来求解张力的大小，但除此之外没有其他的方法。另一种方法是“作弊”，用极坐标系。在极坐标系中，唯一变化的变量是角度θ，但我们需要用极坐标系来表示加速度，我在下面做了一个视频，你可以去看一下，所以你可以用牛顿力学来解决这个问题，但这并不容易。好的。这就是我不太喜欢在大学物理入门课中讲这个例子的原因之一，除非你只是想讲能量守恒，因为它确实是一个比较难的问题。对于拉格朗日力学和哈密顿力学来说，这是一个很好的例子，对吧，因为我们可以选择θ作为变量。θ不是笛卡尔坐标系中的坐标并不重要。我们可能在计算动能的时候会遇到一点麻烦，但我们还是可以做到的。

T = 1/2 ml² θ̇²

U = mgl(1 - cosθ)

好的。所以而且它并没有那么糟糕。所以你可以用任何一种方法来做，但在这里，这种方法更好。那这个呢？

这是一个双摆，一个双摆超级难，对吧，因为现在我有这两个约束力T1和T2，这个力不仅仅与那个质量的运动有关，还与那个质量的运动有关，对吧，因为这个也拉动这个质量，所以这个必须补偿那个的运动。这几乎是，我不知道你将如何用牛顿力学来做这个。你无法计算这些力。你无法作弊来找到约束力。然而，对于拉格朗日量，我有两个变量，对吧，即使这个变量依赖于那个，那也没关系。我仍然可以做到。我可以写下拉格朗日量，我得到两个变量，我就可以做到。所以这是一个你可以像那样做的情况。所以在你有奇怪约束的地方，拉格朗日量会赢，这是另一个拉格朗日运动，一个珠子沿着一条奇怪的金属丝滑动。对吧？你如何找到约束力？这很难，但如果我只是把它参数化成沿着金属丝的位置，只要我有一个关于金属丝的函数，那就没那么糟糕了。所以约束力，约束问题，拉格朗日量和哈密顿量。如果你知道确切的力，就用这个。现在这个在哪里不太好用呢？

这是另一个例子。最后一个例子。哦，我们已经做过了那个，但是如果有摩擦力呢？摩擦力并不是一个关于约束力的方程，对吧？它降低了系统的能量。

所以拉格朗日量并没有真正，你可以让它工作。有一些技巧可以让它工作，但这并不容易。拉格朗日量希望它是一个恒定能量的情况。所以如果你正在失去能量，那么它就更加困难了。你，在哈密顿量中处理能量损失可能更容易，但是，对于拉格朗日量，这不会，我肯定会做牛顿力学，但你仍然需要耍个花招，对吧，因为你实际上并不知道这个法向力，约束力。你必须耍个花招来解决它。好的。但这是解决力学问题的三种不同方法。我没有别的话要说了，所以我们下次再见。