写在前面

概率论与数理统计梳理合集为作者大学自理复习所用

第一章 概率论的基本概念

1.1 随机试验

一、诞生于应用（略）二、随机现象

确定性现象：在一定条件下必然发生的事件

随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生，条件与结果之间的关系无法用函数加以描述

三、随机试验（E）

定义：（1）相同条件下重复进行（2）可能的结果不止一种，事先明确所有可能结果（3）不确定哪个结果出现

1.2 样本空间与随机事件

一、样本空间（S：所有结果的集合）与样本点（每个结果）二、随机事件（S的子集，用大写字母表示）的概念

单点集：基本事件

S：必然事件

∮：（空集）不可能事件

三、随机事件间的关系及运算

（一）关系

1.包含：B包含A，A发生B必然发生。

2.和事件：A∪B=A+B，A或B至少有一个发生。

3.积事件：A∩B=AB，A发生且B发生

4.差事件：A-B，A发生但B不发生

5.互不相容/互斥：A∩B=空集，A、B不同时发生

*基本事件是两两互不相容的

6.对立事件/互逆事件：A∪B=S，且A∩B=空集，B记作A逆（A上面一横）

*互斥≠对立；互斥不能推出对立，但对立可以推出互斥

（二）运算

1.3 频率与概率

一、频率的定义与性质（略）二、概率的定义与性质

性质1：不可能事件的概率为0

性质2：（有限可加性）有限个两两互斥事件的和事件的概率，等于每个事件概率的和

性质3：若B包含A，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)＞P(A)

性质4：对于任意事件A，P(A)≤1

性质5：（逆事件的概率）对任一事件A，A的逆事件的概率等于1-P(A)

性质6：（加法公式）对于任意两事件A,B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

1.4 等可能概型

一、古典概型定义

设E是随机试验，E满足下列条件则称E为等可能概型：

(1)试验的样本空间只包含有限个元素

(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同

二、古典概型计算公式三、排列组合公式

（一）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。

（二）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法

（三）排列：

1.有重复排列：在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为n的r次方。

2.选排列：在无放回选取中，从n个不同元素中选取r个元素进行排列，称为选排列，其总数为。

选排列公式

（四）组合：

（1）从n个不同元素中取r个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为

（2）多组组合：把n个不同元素分成k组（1≤k≤n），使第i组有ni个元素，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法有：

多组组合分法种类

（3）常用组合公式：

四、实际推断原理

概率很小的事在一次试验中实际上几乎是不发生的

五、几何概型

当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量（长度、面积、体积）相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为：

其中S是样本空间的度量，SA是构成事件A的子区域的度量。这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概型。

*当古典概型的试验结果为连续无穷多个时，就归结为几何概型。

1.5 条件概率

一、条件概率

（一）定义

事件A发生条件下事件B发生的概率为条件概率。设A、B为两个事件，且P(A)＞0：

条件概率计算公式

（二）性质

非负性：对于每个事件B，有P(B|A)≥0规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1可列可加性：设B1,B2,...,是两两不相容事件，则有

可列可加性

二、乘法定理

（一）乘法定理：设P(A)＞0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)

（二）推广：

三、全概率公式与贝叶斯

（一）样本空间的划分

定义 设S为试验E的样本空间，B1，B2，...,Bn为 E的一组事件，若

(i)BiBj = 空集, i ≠ j, i,j = 1,2,...,n；

(ii)B1∪B2∪...Bn = S,

则 称B1,B2,...Bn为样本空间S的一个划分

（二）全概率公式

定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且P(Bi)＞0(i=1,2,...,n)，则以下式子称为全概率公式：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...P(A|Bn)P(Bn)

说明

全概率公式的用途

（三）贝叶斯公式

定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且P(A)＞0,P(Bi)＞0 (i = 1,2,...,n),则下述式子被称为贝叶斯公式：

贝叶斯公式

（四）先验概率与后验概率

先验概率：指根据以往经验和分析。在实验或采样前就可以得到的概率。如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.

后验概率：指某件事已经发生，想要计算这件事发生的原因是由某个因素引起的概率。如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因"。

（五）条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别

P(AB)≥P(AB)

1.6 独立性

一、事件的相互独立性

（一）事件独立

定义：设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。

说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关。

判断

若P(A)＞0，P(B)＞0，则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。（不要忽视前提）互斥可以不独立，独立也可以不互斥，二者之间没有必然联系。

（二）三事件两两相互独立的概念

定义：设A,B,C是三个事件，如果满足下述等式，则称事件A,B,C两两相互独立

（三）三事件相互独立的概念

定义：设A,B,C是三个事件，如果满足下述不等式，则称事件A,B,C相互独立

*注意：三个事件相互独立可以推出三个事件两两相互独立，但反之不成立。三个事件相互独立条件更强。

推广

二、几个重要定理

定理一 设A,B是两事件，且P(A)＞0，若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)。反之亦然。

定理二 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立

两个推论