初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种，下面主要介绍映射、函数以及有关概念，函数的性质与运算等。

映射映射的概念

定义： 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则(对应关系)f，是的对X中的每个元素x, 按照对应法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射。 记作：f: X->Y

其中y称为元素x在映射f下的像，并记作f(x), 即y=f(x), 而元素x称为y在映射f下的一个原像，集合X称为映射f的定义域，记作Df, 即Df = X, Y中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf, 或f(X), 即 Rf = f(x)=|f(x)∣x ∈ X|

需要注意的是：

（1）构成一个映射必须具备三个要素：1 集合X，即定义域Df= X; 2 集合Y，即值域的范围: Rf⊂Y；3 对应法则f， 使对每个x ∈ X，有唯一确定的y=f(x)与之对应。

（2）对每个x ∈ X，元素x的像y是唯一的；而对每个y ∈ Rf, 元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf⊂Y， 不一定Rf = Y。

映射又称为算子。根据集合X, Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称，例如，从非空集合X到数集的映射又称为X 上的泛函，从非空集合X到他们自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数。

逆映射与复合映射

设f是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈Rf, 有唯一的x∈X，适合f(x)=y, 于是，我们可以定义一个从Rf到X的新映射g， 即 g: Rf -> X, 对每个y∈Rf, 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y, 这个映射g称为f的逆映射， 记作f^(-1)， 其定义域D f^(-1)=Rf, 值域Rf^(-1)=X。

按上述定义，只有单射才存在逆映射。

设有两个映射 g:X->Y1, f:Y2->Z, 其中Y1⊂Y2, 则有映射g和f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每个x ∈ X映射成f[g(x)] ∈Z, 显然，这个对应法则则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f○g, 即: f○g: X->Z, (f○g)(x)=f[g(x)], x ∈X。

由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R(g)必须包含在f的定义域内， 即R(g) ⊂D(f), 否则，不能构成复合映射，由此可知，映射g和f的复合是有顺序的，f○g有意义并不表示g○f也有意义，即使两个都有意义，也未必相同。