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数者,数也。你真的会数数吗?

士心叔叔 175

前言:

今天小伙伴们对“判断某数是否为完数”大约比较注意,看官们都需要学习一些“判断某数是否为完数”的相关内容。那么小编在网摘上汇集了一些有关“判断某数是否为完数””的相关资讯,希望朋友们能喜欢,大家一起来学习一下吧!

数有三种拼音:shù、shǔ、shuò,“数”作名词时读作shù,也即是数学的数,有5种意义,详情请参考下图。

作副词时读作shuò,表次数多。

作动词时读作shǔ,也即是数数的数(前面那个),有3种意义,具体也请参考下图。这也正是我们今天这篇文章讨论的要点,如何计数。

本文并不以所谓奥数为研究对象,只是单纯探讨如何正确快速地数数。因此我们当然要从最简单,具体的计数问题开始。

一、直线型计数问题

所谓直线型,也就是排成一排一个一个地数。如下图:

当然由此也会引申出一些颇为有趣的问题。

比如问题一:小红排队买冰激凌,从前往后数小红在第六位,从后往前数小红在第八位,请问队伍里总共有多少人?

解答:从前往后小红排第六,所以小红前面有6-1=5人,从后往前数小红排第八,所以小红后面有8-1=7人,所以加上小红总共有5+7+1=13人。

同样有趣的一个问题在儿歌《十只小猪过河》中表达得非常生动。

二、进位计数问题

进入小学,学会直线型计数之后,解决的第一个问题就是进位计数的问题。

实际生活中我们用得最多的是十进制计数。

为了尽可能简洁地表示一些大数,我们必须要引入进位计数的原则,如上图所示:个位柱子上的一颗珠子表示也1,十位珠子上的一颗珠子表示10...,所以此时上图所示的数字应该是23426,当我们再在十位柱子上拨来3颗珠子时,就变成了23456.

我国古代的算盘比上述计数器更加精密实用,但要稍显复杂一点。你首先要认识算盘的结构特点,算盘以档计位,以珠计数。大档在左,小档在右,小白点处表个位。上珠一颗表示5,下珠一颗表示1,计数时珠子都靠梁。

比如下图中的两个数分别是:705,360

当然,常用进制除了10进制,还有2进制,12进制,60进制等。它们之间的转换关系如下图:

有了进位计数以后,自然也会出现相应的计数问题。

问题二:3到50之间(含3、50两数,下同)的自然数有多少个?

解答:50-3=47,47+1=48,故共有48个自然数。(此类问题要记得加1,因为头尾皆算)

问题三:8到58之间有多少个偶数?

解答:自然数总是一奇数一偶数交替出现的,但是你不能够单纯地认为,奇数和偶数在所给数队中总是一样一半。还得看它从奇开始,还是从偶开始;到奇结束,还是到偶结束。如果奇始奇末,那么奇数比偶数多一个;如果偶始偶末,那么偶数比奇数多一个;至于其余的情形,奇数与偶数一样多。这里用到的其实就是数学当中的分类思想。

在本例中,共有自然数58-8+1=51个,因为是偶始偶末,所以偶数比奇数多一个,故偶数个数=(51+1)÷2=26个。

三、代数式中的计数问题

字母代数使得我们对数学的研究具有更强的一般性和可推广性,使得类题解决成为可能。也为全称命题、代数运算、方程求解、函数研究等内容的出现与展开提供了必要的前提与基础。

闲话不必多叙,我们还是将目光放回到计数问题上。

问题四:若x是一个非零自然数,请问从x到2x-1有多少个自然数?有多少个偶数?

解答:(2x-1)-x+1=x,所以这之间共有x个自然数。

2x是偶数,2x-1一定是奇数。而x可能是奇数,也可能是偶数,所以需要分开讨论。

若x为奇数,那么奇始奇末。所以偶数个数=(x-1)÷2;若x为偶数,则偶始奇末,偶数与奇数各占一半,故偶数个数=x÷2。

问题五:已知n是不小于6的自然数,那么如下这一列数(就是一个数列)总共有多少个数字?

2,7,14,23,...,n²-2.

解答:上述数列可以表示为:2²-2,3²-2,...,n²-2。那么个数当然就是从2到n自然数的个数,所以数字个数=n-2+1=n-1个。

问题六:条件如上问所述,请问下面的数列中有多少个数?

-2,0,4,10,18,...,88.

解答:问题的突破口当然在找到数字的通用表达式(数列的通项公式):(n-2)(n+1),其中n是数在数列中的序号。比如:-2=(1-2)×(1+1),0=(2-2)×(2+1),4=(3-2)×(3+1)等。

那么88=(n-2)(n+1)解得n=10(n=-9自然舍去),故上述数列中共10个数字。(从1到10谁都知道是10个自然数,当然不需用10-1+1=10那样去算了)。

四、几何图形类计数问题

几何图形类的计数问题,最容易出错的地方有两个。一是只计算最小单元的图形个数,忽略掉由小图形组成的大图形的计数。二是只计算看得见的图形个数,忽略掉“看不见”的图形个数。

问题七:下图中有多少个长方形?(本文中正方形也视作特殊的长方形,肉眼可辩的正方形、长方形也以图形为准,不再作过多的文字叙述)

解答:图中有小长方形4个,两个小长方形组成的长方形有3个(1与2,2与3,3与4)三个小长方形组成的长方形有2个(数法同上,不再赘述),四个小长方形组成的长方形有1个。

所以图中长方形的总个数=4+3+2+1=10个。

这一结论当然可以推而广之,如下图所示

中间?表示省略掉若干的小长方形

在直线型,连续不断开的若干长方形图形中,长方形的总个数=n+(n-1)+...+3+2+1=0.5n(n+1)。

总的来说,数数你不能仅仅只是数数。只有进入更深层次的思考,你才能够更加深刻地认识这个世界。

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