中考：构建瓜豆原理求最值

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中考：构建瓜豆原理求最值

原

题

再

现

在直角坐标系内，已知点Ａ（0，1）和点Ｂ（3，2），

在x轴上找一点Ｐ，使AP+2PB的值最小

考

察

知

识

构建瓜豆原理，再用点到直线的距离可求。

瓜豆原理如下：

解

题

思

路

解：过点P作CP⊥AP，且PC＝(1/2)PB

如PC＝x,则AP=2x

则AC＝√(5)x

点A为定点，∠PAC是定角，且AP/AC为定值

满足瓜豆原理，

即点P在直线上运动，则点Ｃ的轨迹也是直线

以下是追踪点Ｃ的轨迹，是一条直线

如下图：取特殊点C1（-1/2，0），C2（0，-1/4），

所以C的轨迹：y= -0.5 x-0.25

所以：AP+2PB＝2（1/2AP+PB）

＝2（PC+PB）

＝2 BC

(且当仅当P,B,C三点共线，且PC垂直轨迹)

求BC即可

方法一：点到直线的距离公式

点Ｂ（3，2），

C的轨迹：y= -0.5 x-0.25

变为：2x+4y+1=0

d=BC=|2×3+4×2+1｜/√（2²+4²）

=（3√5）/2

所以：AP+2PB＝2（1/2AP+PB）

＝2（PC+PB）

＝2 BC=3√5

方法二：斜率互为负倒数

过点Ｂ（3，2）设为：y= 2 x+b

即：y= 2 x-4

y= 2 x-4与y= -0.5 x-0.25的交点坐标为（3/2,-1）

且点Ｂ（3，2），

两点之间的距离公式有：BC＝（3√5）/2

所以：AP+2PB＝2（1/2AP+PB）

＝2（PC+PB）

＝2 BC=3√5