【2018河北中考数学16题】抛物线与直线相交（压轴题）

【中考真题】

（2018•河北•16题•2分）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）

A．甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

【思路探究】

对于函数图象的有关问题，一般应画出函数图象的大致形状，借助函数图象的直观性，进行分析和解决问题．

因此，先确定直线l的图象是过点（0，2）和（﹣2，0）的一条直线（如图）；

由题意可知，对于抛物线L，开口向下，对称轴是x=1.5，与y轴交点的坐标为（0，c），且为整数，并且是在（0≤x≤3）之间的一段抛物线．（如图）

我们看到抛物线的解析式中的常数项是字母c，每一个c的值均对应着一条抛物线，所以这条抛物线是在上下平移，因此本题就可以转化为：当抛物线上下平移过程中，与直线l有唯一公共点时，求c的值．

需要注意的是，c为整数，且抛物线是在0≤x≤3上的一段抛物线，所以抛物线与直线l有唯一公共点时，可以是直线l与抛物线相切的情况，还可以是直线l与在0≤x≤3上的这一段抛物线相交的情况，因此需要分类讨论，借助画出相应的图象求出c的值．

解：∵抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点

∴①如图，当抛物线与直线相切时，

联立解析式得：

得x2﹣2x+2﹣c=0，

∵有唯一公共点，

∴一元二次方程有两个相等的根，

∴△=（﹣2）2﹣4（2﹣c）=0，解得c=1．

②如图，若抛物线与直线不相切，则应在0≤x≤3上只有一个交点，

在抛物线上下平移过程中，我们发现：

当x=0和x=3时候，两个临界点（0，2）和（3，5）均在抛物线上，

c=2时，由图可知抛物线与直线在0≤x≤3上有两个交点，

∴应有2＜c≤5，

又∵c为整数，∴c=3，4，5，

综上所述，当c=1，3，4，5时，

抛物线与直线在0≤x≤3上有唯一交点，

对照各选项，所以本题选D．

【考法解读】

本题考查了二次函数与一次函数的图像和性质问题，以两个函数图象的交点为切入点，隐含考查了抛物线图象的上下平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，更加深刻的考查了函数图象的交点与方程的解之间的联系，也用到了一元二次方程判别式、求函数图象上点的坐标等知识．

作为选择的压轴题，本题设计独居匠心，在问题呈现和选项设置上下足了功夫，并没有按照常规问题的设置去求c的值，而是判断甲乙的结果是否正确，或判断是否合在一起正确？这样的选择设置带有很强的迷惑性，而本题结果恰是“D．甲、乙的结果合在一起也不正确”，使得本题结果具有了一定的开放性，一定程度上增加了题目的难度，提高了考查的信度．

【知识方法】

本题主要涉及的知识有：

一次函数图象上点的坐标特征

二次函数图象上点的坐标特征

对于本题，在不改变原题命题立意和考查角度的情况下，请你尝试完成下面的问题，可以检验自己是否完全理解和掌握了这个问题．

问题拓展：已知一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（其中c为常数且0≤x≤3）与直线l：y=x+2，则

（1）若抛物线L与直线l没有公共点，则c的取值范围是 ；

（2）若抛物线L与直线l有唯一公共点，则c的取值范围是 ；

（3）若抛物线L与直线l有两个公共点，则c的取值范围是 ．

问题拓展参考答案：

（1）c＜1或c＞5；

（2）c=1或2＜c≤5；

（3）1＜c≤2．

怎么样，你做对了吗？

【变式训练】

作者：精准备考初中数学，中学高级教师，教育领域创作者。从教中学数学20余年，重点研究领域：中考数学命题与复习备考、真题详解、圈题预测，初中数学教学。致力于分享教学经验和研究成果，助力考生冲刺高分！

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