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线性代数秩的有关问题

等待与希望a 463

前言:

当前大家对“非齐次线性方程组的线性无关解的个数与秩的关系”大约比较关切,你们都想要剖析一些“非齐次线性方程组的线性无关解的个数与秩的关系”的相关知识。那么小编同时在网摘上收集了一些对于“非齐次线性方程组的线性无关解的个数与秩的关系””的相关文章,希望姐妹们能喜欢,我们一起来学习一下吧!

仅开个头,不做深层次的分析,因为暂时没时间,谁让官方催更呢?当然仔细思考,也定会有所收获的。秩在线代里面起到“定”什么的作用,与各章均有紧密的练习,你知道相应的关系吗,会写出对应的秩语言吗?

在此给出秩的一些问题,请自行查阅资料或者直接检测作答,并梳理其内在逻辑,自学复习文档。

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问题1.请复述:秩的2种定义分别是什么?提示:矩阵行列式,向量

{ ①如何理解其中“最高为r阶”非零子式中的最高为r的含义

→提示:一个说大,一个说小,大小夹。

②区分理解:“有一个”和“每一个”}

以上图片分别为说大和说小

问题2.判断下面三个命题是否正确?(3个重要的命题)

请牢记清楚

问题3.填空题

(1) 矩阵的性质,常见的等式与不等式

填空题1

填空题2

填空题3

填空题4

(2)线性方程组中与秩相关的命题填空

1.Am*n阶,AX=0通解中:基础解析所含线性无关的解向量个数为:[ ]

2.解的判定

秩与方程组

(3).如何利用秩,判断向量组相关无关,

核心定理:→关键看:向量组的秩与向量组个数的关系,相等无关,不等相关

-矩阵的秩=它行向量组的秩=它列向量组的秩,故判别 :矩阵的秩 与 所对应的向量组个数的关系

分析:Am*n 本来判别A列向量组的向量是否相关无关,是去看A的列向量组的秩,与A列向量所含向量个数n之间的关系,但是由于“3秩相等”A列向量组的秩=矩阵的秩R(A)相等,故只需要看矩阵A的秩R(A)和列向量组所含向量个数n的关系即可,相等则列向量组线性无关,不等则相关。

秩与相关无关

(4).若A~B 等价,相似,合同,则R(A)=R(B);要会区分:相似,合同,等价的概念

重要命题:

若A可相似对角化,则R(A)=非零特征值的个数,重根按重数算 (请判别正确与否)

判别A可相似对角化的秩语言又是什么?

K重根(设重根为Ω)有K个线性无关的特征向量,秩语言即:n-r(ΩE-A)=K(重数)

→实对称矩阵的秩=非零特征值的个数

进而:R(A)=二次型标准型平方项非零0系数的个数→再进一步思考与规范型关系

→惯性定理:R(A)=p+q正负惯性指数之和

(5).若An*n可逆,则R(A)= [ ],若A不可逆,则R(A)={ }

4.矩阵的秩与各章的关系 (请思考具体的关系)

摘自李林老师的书

5.矩阵的秩的求法结构体系(线代题最爱做的就是分类:具体 ,抽象)

采用分类来思考:具体和抽象,具体是指A的元素给出,抽象是指仅给A符号,不给A的元素

数字型矩阵的秩如何求?有哪些方法?

(1)定义法;(2)初等变换 (用的多);(3)行列式 ;(4)特征值(特殊结构)

(可相似对角化的特殊结构,例如:主对角元素相同为b,其他元素亦相同为a,可分解为秩为1的特殊结构)

数字型矩阵的求法

抽象型矩阵A的秩如何求?1.经典的构思:一大一小一夹

要证明R(A)=n,可采用:一个说大R(A)≥n,一个说小R(A)≤n,一大一小一夹R(A)=n

{关键如何说大?如何说小?利用好上述:行列式,方程组,相关无关的信息解读以及常见不等式}

你会:从矩阵A的行列式中子式读出秩的信息吗?

存在二阶子式不为0

你会:从相关,无关中读出秩的信息吗?

若α1=α2-α3,则R(α1,α2,α3)≤2,你能读出来吗?理由是?

你会:会从AX=b,A为4阶,有3个线性无关的解,读出秩的信息吗?

摘自李永乐老师的公众号

扩展两类题的构思:(考的很少,了解,理解即可)

一个说大一个说小,大小夹

2.利用秩的定义,性质,结论,以及它与其他章节的关系知识来反求秩,理论见上文填空题部分

补充矩阵分解的思想

1.当B的每一列都可以由A的列向量表示的时候,想到 B=AC ,表示系数矩阵C

典型条件设置→什么时候想到用矩阵分解

1. 设a1 a2 a3线性无关,讨论a1-a2 a1+2a2-a3 a1-a3

2.[Aa1 Aa2 Aa3]=A[a1 a2 a3] 从而可用乘法公式 C=AB 而可以利用R(AB)越乘越小的结论:推出秩的不等式,

3.[A AB]=[AE AB]=A[E B] 如上

4.A-AB=A(E-B)

5.已知P=[ 抽象的 ],且可逆或者列线性无关。告之你一个有关A的等式,让你求P-AP=B的B,要点:①先求AP→观察法,利用矩阵分解的思路→把AP的结果矩阵分解写为:P*,→因为P可逆,进而*=B所求的。2020考题 2001年数一考题等

2.A=BC分解的构思,先看B,C中是否有可逆矩阵或者线性无关的,从而可以得到R(A)与R(B)或R(C)的确切关系;若没有,则利用R(BC) “越乘越小”R(BC)≤min{R(B) R(C )}

分析

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