如图，过点O的直线交双曲线y＝(k＞0)于A、B两点，P 为双曲线上任意一点(不与点A、B重合)，PA交x轴于点C，PB交x轴于点D.设点A坐标为(m，n)，则根据对称性可得点B坐标为(－m，－n).设点P坐标为(a，b)，则点C坐标为(a＋m，0)、点D坐标为(a－m，0).作PM⊥x轴于点M，则M点坐标为(a，0)，∴CM＝a＋m－a＝m，MD＝a－(a－m)＝m，∴CM＝DM，则PM所在的直线是线段CD的垂直平分线，∴PC＝PD.

如图，过点O的直线交双曲线y＝(k＞0)于A、B两点，P 为双曲线上任意一点(不与点A、B重合)，PA交y轴于点E，PB交y轴于点F.设点A坐标为(m，n)，则点B坐标为(－m，－n).设点P坐标为(a，b)，则点E坐标为(0，b＋n)、点F坐标为(0，b－n).作PM⊥y轴于点M，则M点坐标为(0，b)，∴EM＝b－(b＋n)＝－n，FM＝b－n－b＝－n，∴EM＝FM，∴PE＝PF.

说明

(1) 过原点的直线分别交双曲线于点A、B，P为双曲线上任意一点(不与点A、B重合)，PA分别交x轴、y轴于点C、E，PB分别交x轴、y轴于点D、F，则PC＝PD，PE＝PF.

(2) 解决上述结论的基本方法：求出直线PA、PB的函数表达式，再求出直线分别与x轴、y轴的交点，从而解决问题.

(3) 其它结论：

①CD＝|2m|，EF＝|2n|；

②k＝=＝=－，

k＝=＝==，

k＋k＝0.

例　(2015常州·改)如图，反比例函数y＝的图像与一次函数y＝x的图像交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．

(1) 若点P的坐标是(1，4)，则k＝_____，△PAB的面积＝________；

(2) 设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

(3) 设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

解析

(1) 条件“P(1，4)”为误导条件，下两两小题都不可用.

由P(1，4)可得k＝4.∵点B在一次函数y＝x的图像上，且横坐标是4，∴点B的纵坐标是1，即B(4，1).∵点A、B关于点O成中心对称，∴点A坐标为(－4，－1).连接OP，则得到两个原点三角形：△POA、△POB.∴△PAB的面积＝△POA的面积＋△POB的面积＝ (4＋1)(4－1)＋ (4＋1)(4－1)＝15.

(2) 分别求出直线PA、PB的函数表达式(综合性较高的解答题，可以省略具体的计算过程)，再分别求出它们与x轴的交点，则问题得解.

(3) 连接QA、QB分别交x轴于点E、F，则可得QE＝QF，进一步可证∠PAQ＝∠PBQ.

答案　

(1) 4，15.

(2) 由B(4，1)得k＝4，设P点坐标为(a，)，由点A(－4，－1)得直线PA的表达式为：y＝x＋，由点B(4，1)得直线PB的表达式为：y＝－x＋，∴设y＝0可得点M坐标为(a－4，0)，点N的坐为(a＋4，0)，作PC⊥x轴于C，则C点坐标为(a，0)，CM＝a－(a－4)＝4，NC＝(a＋4)－a＝a，∴CM＝CN，∴PM＝PN.

(3) 设Q(m，)(1＜m＜4)，同(2)可求：QE＝QF，

∴∠QEF＝∠QFE.

∵∠PMN－∠PAQ＝∠AEM＝∠QEF，

∴∠PMN－∠QEF＝∠PAQ.

∵∠PMN＝∠PNM，∠PNM－∠QFE＝∠FBN＝∠PBQ，

∴∠PAQ＝∠PBQ.

练习

1. 如图，过原点的直线交反比例函数y＝的图像于点A(1，－3)、B，点P是第二象限内反比例函数图像上的动点，且在点B下方，PA交x轴于点C，PB交x轴于点D.求证：PC＝PD．

2. 如图，过原点的直线交反比例函数y＝的图像于点A(－2，－1)、B，点P、Q是第一象限内反比例函数图像上的动点，且P在点B上方、Q在点B下方，PA交y轴于点C，PB交y轴于点D，QA交y轴于点E，QB交y轴于点D.若∠CPD＝100°，∠EQF＝30°，则∠PBQ＝______°．

1.

解析

分别求(或设)出点A、B、P坐标，再求出直线PA、PB的函数表达式(综合性较高的解答题，可以直接写)，然后分别求出它们与x轴的交点，问题得解.

答案

由A(1，－3)得k＝－3，设P点坐标为(a，－)，得直线PA的表达式为：y＝x－，∴点C坐标为(a＋1，0).点B与点A关于原点对称，则点B坐标为(－1，3)，直线PB的表达式为：y＝－x＋，点D的坐为(a－1，0)，作PE⊥x轴于E，则E点坐标为(a，0)，CE＝a＋1－a＝1，ED＝a－(a－1)＝1，∴CE＝DE，∴PC＝PD.

2.

解析

(1) 对于填空题，可以直接使用例题前面的知识点，条件“(－2，－1)”可以不用.

(2) 由知识点确定：PC＝PD，QE＝QF.

∵∠CPD＝100°，∠EQF＝30°，

∴∠PCD＝∠PDC＝40°，

∠QEF＝∠QFE＝75°，

∴∠DBF＝75°－40°＝35°，

∴∠PBQ＝180°－35°＝145°.

答案　145