温度分布在我们日常生活和工程领域中扮演着重要的角色。对于一个边长为 a 和 b 的矩形薄片置于二维平面的第一象限，并受到外热源 f(x, y) 的影响，我们面临着一个引人入胜的定解问题：如何确定薄片上的温度分布？这个问题可以通过泊松方程的求解来解决。

泊松方程及其物理背景

泊松方程是描述稳态情况下的热传导问题的重要方程。它可以用数学语言表示为：

∇^2u(x, y) = -f(x, y)

其中，u(x, y) 是温度分布函数，(x, y) 是薄片上的水平和垂直坐标，∇^2 是拉普拉斯算子，表示二阶偏导数的和，f(x, y) 是外热源的影响。

在实际应用中，泊松方程可以帮助我们解决各种热传导问题，例如散热片的设计、材料热性质的研究以及地下温度分布的模拟等。

边界条件的设定

为了求解泊松方程的定解问题，我们需要指定边界条件。在这个问题中，薄片的边界上的温度为零，即 u(0, y) = 0 和 u(x, 0) = 0。这些边界条件反映了薄片周围环境的温度情况。

数值方法的应用

泊松方程是一个二维偏微分方程，精确解往往难以获得。因此，我们需要借助数值方法来求解这个问题。常用的数值方法包括有限差分法和有限元法等。

3.1 有限差分法

有限差分法将连续的空间离散化为一系列网格点，使用差分近似求解偏导数。通过将泊松方程离散成一组代数方程，可以得到一系列线性方程，从而求解出温度分布。

例如，考虑一个长为 a，宽为 b 的矩形薄片，在 x 方向上将其划分为 N 个等距的网格点，即 Δx = a/N，同样在 y 方向上划分为 M 个等距的网格点，即 Δy = b/M。根据有限差分法，我们可以使用以下公式来逼近泊松方程中的拉普拉斯算子：

∇^2u(x, y) ≈ (u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j})/Δx^2 + (u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1})/Δy^2

其中，u_{i,j} 表示位于第 i 行、第 j 列的温度值。

3.2 有限元法

有限元法将区域划分为许多小的单元，并在每个单元内使用多项式函数逼近温度场。通过建立局部的代数关系，并组装成整体的方程组，可以得到温度分布的近似解。

例如，我们可以将矩形薄片分割成许多三角形单元，并在每个单元内使用一些基函数来表示温度场。通过将泊松方程在每个单元内进行积分，并应用合适的边界条件，可以得到一个离散的线性方程组。通过求解这个方程组，我们可以得到薄片上的温度分布。

有限元法在工程领域中得到了广泛的应用。例如，在建筑工程中，有限元法可以用来模拟建筑物的热传导，进而指导散热系统的设计和优化。

理论与实践的结合

虽然泊松方程的解析解往往难以获得，但数值方法为我们提供了一种有效的途径来求解这个稳态热传导问题。通过编写相应的程序或使用现有的数值计算软件，我们可以得到薄片上的温度分布。

例如，在Matlab等数学软件中，我们可以编写程序来离散化泊松方程，并利用迭代方法求解线性方程组。通过调整网格的精细度和迭代的次数，我们可以得到更准确的温度分布结果。

理论和实践的结合使我们能够更好地理解热传导的物理过程，并为实际问题的解决提供指导。无论是工程中的散热设计，还是对材料热性质的研究，泊松方程的定解问题都具有重要的应用价值。

结语

稳态二维热传导问题是泊松方程的一个重要应用。通过数值方法的求解，我们可以确定薄片上的温度分布，从而更好地理解和解决与热传导相关的实际问题。希望本文能够为读者提供一些启发和帮助，在热传导领域的研究和实践中展现出其重要性和广泛的应用前景。

参考文献：

[1] 孙志忠，杨春梅. 数值计算方法[M]. 清华大学出版社, 2009.

[2] 陈乃秋. 数值分析方法[M]. 高等教育出版社, 2010.

[3] Hoffman, J. D., and Chiang, S. T. C. Computational Fluid Dynamics Volume 1, 2019.