一、函数奇偶性的概念

1. 一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

注：奇偶性是针对整个定义域而言的，而单调性是针对定义域内的某个区间而言的，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2.按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图像关于y轴对称。

奇函数

偶函数

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

②若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤如果有函数g(x)和f(x)，则他们的复合函数f[g(x)]的定义域是关于原点对称的。当u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；当u=g(x)，y=f(u)都是偶函数或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

5.几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

二、判断函数奇偶性的步骤：

①、求f(x)定义域，判断定义域是否关于原点对称；不对称则是非奇非偶函数，对称转下一步

②、化简f(x),再求f(-x),比较两者的关系

③、根据定义定义得出结论。

三、抽象函数奇偶性的判断

方法：判断抽象函数的奇偶性常用赋值法。在已知抽象函数关系中凑出f(-x）+f(x)或者f(-x)-f(x).一般先去探求f(0)的值（或者f(1)、f(-1)的值），再令y=-x,从而产生f(-x）和f(x)的关系。