【通信技术基础第8讲】

班长说：傅里叶级数与傅里叶变换其实紧密关联。本文主要介绍冲激信号，白色谱，周期信号傅里叶变换的分析方法，目的是加深理解频谱密度与时频转换，也为后续的抽样定理，数字信号处理打下基础。希望对你的考研与日常工作提供帮助。

非周期信号用傅里叶变换进行频谱分析，周期信号用傅里叶级数来分析。讲到这里，有很多小伙伴不禁会问，如果我用傅里叶变换的公式来求解周期信号，那会如何呢？

在此之前，我们先看一种信号：

冲激信号

又称为狄拉克δ函数（δ函数），是由物理学家保罗狄拉克提出的广义函数。它的定义如下：

冲激函数可以看成脉冲信号的不断压缩……假设存在一个脉冲，其宽带为τ，高度为1/τ，在里面灌一些沙子，那么沙子面积等于1/τ*τ=1。我们不断挤压这个沙子“矩形”，保持沙子总量不变，也就是面积不变。最终当τ变为0的时候，“矩形”的高度就变为无穷大了，但是沙子还是那个沙子，面积还是1。所以看下图：

矩形中装满沙子，不断的挤压它......

冲激函数是用来描述“突发状况”的，可以表述在短时间内突发的一瞬间，如闪电，猛地一拳。

关于冲激函数还有一个重要性质，就是它的“筛选”特性。

如果单位冲激信号与一个连续函数相乘，由于冲激函数只在t=0处有冲激，其余各点的乘积均为0。如果冲激信号延迟t0个时间单位，同理在t=t0处有冲激，其余各处均为0。所以这个乘积可以写成如下：

频域里面的“白光”白色谱

冲激函数在时域中，能量都集中在一个点上，那么它在频域中的表现如何呢？按照我们之前建立的概念，我们可以猜想，频域应该是和时域“反”着来的。

现在我们来计算冲激函数的傅里叶变换，看看是否符合我们的猜想：

恩，没错。冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀分布的。显然，在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这就是为什么称这种频谱为均匀谱或者白色谱的原因！

冲激函数的频谱

如果频率上为冲激函数，那么时域中又如何表现呢？你可能已经根据对称性猜出，时域中是“一条笔直的线”，我们把这条线叫做“直流信号”，直流信号的频谱是冲激函数，就是这么来的咯。

直流信号的频谱

周期信号的傅里叶变换

OK，我们回归到文章开头提出的问题：周期信号也能傅里叶变换？

不管结果如何，我们把周期信号带入傅里叶变换公式，看看我们能算出个啥子！假设f(t)周期为T1，角频率为w1，那么

周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激函数位于信号的谐波频率（0，w1,w2,-w1,-w2...）处，每个冲激函数的强度等于f(t)的傅里叶级数相应系数的2pi倍。周期信号的傅里叶变换频谱是离散的，这一点与傅里叶级数频谱是保持一致。这个推导中用到了傅里叶变换的时移性质，如果你已经忘记或者没有概念，请查看班长之前的文章。

周期脉冲信号的傅里叶级数

这就是为什么前面说了一大堆冲激函数的原因，引入冲激函数之后，周期信号的傅里叶变换可以在数学上自然的存在，毫无违和感。下图中画出了脉冲信号的傅里叶变换。

周期脉冲信号的傅里叶变换

脉冲信号的傅里叶系数Fn是我们常见的离散Sa函数，所以根据公式，我们可以画出其傅里叶变换，在各个谐波频率处的冲激函数，包络为Sa函数。傅里叶变换的频谱是频谱密度，连续的。所以一旦周期信号频谱为离散的，必然所有的能量都会朝这些离散点上集中，形成冲激。

我们再看这幅图，应该从下往上看。

我们再看这张“周期不断增大直至无穷，导出傅里叶变换”的图，我们应该从下往上看了。当脉冲信号从1个，逐步增加到3个，再到5个，再到无穷多个，形成了周期信号，那么信号的频谱也逐步从连续谱，逐步向离散的w1,w2,-w1,-w2...处集结，当脉冲数目无穷多时，最终集结成冲激函数。

总结

引入冲激函数之后，不管是周期信号还是非周期信号，我们都可以统一的用傅里叶变换来进行频谱分析。而且我们知道了两个重要结论，就是直流分量的频谱是冲激，而时域冲激的频谱是“均匀分布”！