贪婪算法教程

贪婪算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即局部最优）的解决方案，从而期望导致结果是全局最优的一种策略。这种算法并不从整体上考虑所有可能的选择，而是做出即时的决定，并且一旦做了决定就不再更改。

贪婪算法的基本步骤：

1. 定义问题的最优子结构：问题可以分解为多个相互独立的子问题。

2. 选择贪心策略：确定一个量度标准或规则来指导每一步决策，使得每次都能获得局部最优解。

3. 递归地构造解决方案：按照贪心策略，每一步根据当前状态作出最优决策，逐步构建最终解。

4. 证明算法正确性：通常需要证明对于该问题，采用贪心策略能得到全局最优解，或者至少是一个近似解。

C++ 示例：找零钱问题（硬币找零）

假设你有一组面额各异的硬币，要找给定金额的最少硬币数量。贪心策略通常是先尽量用大面额的硬币进行找零。

#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>// 硬币面额数组std::vector<int> coin_values = { 1, 5, 10, 25 }; // 假设有1元、5元、10元和25元四种面额的硬币// 贪心算法实现找零std::vector<int> greedyChange(int amount) {	std::vector<int> result;	while (amount > 0) {		// 按照降序排列的硬币面额寻找当前能使用的最大面额硬币		auto it = std::upper_bound(coin_values.begin(), coin_values.end(), amount);		if (it == coin_values.begin()) {			// 如果无法找到大于或等于剩余金额的硬币，则使用最小面额硬币			it--;		}		int coin_to_use = *it;		// 计算当前面额硬币的数量		int count = amount / coin_to_use;		for (int i = 0; i < count; ++i) {			result.push_back(coin_to_use);		}		// 更新剩余待找零金额		amount %= coin_to_use;	}	return result;}int main() {	int target_amount = 36; // 需要找零的总金额	std::vector<int> change_coins = greedyChange(target_amount);	std::cout << "The minimum number of coins required to make change for " << target_amount << " is: ";	std::cout << change_coins.size() << "\n";	std::cout << "Coin distribution: ";	for (int coin : change_coins) {		std::cout << coin << " ";	}	std::cout << "\n";	return 0;}

在这个例子中，我们首先对硬币面额按降序排序，然后每次都尝试使用尽可能大的面额硬币来减少剩余找零金额。直到剩余金额为0为止。注意，此示例假设硬币面额适合贪心算法解决问题，即不存在硬币面额组合无法通过贪心算法得到最少硬币数目的情况。在某些特定硬币面额情况下，贪心算法并不能确保得到全局最优解（如硬币面额为{1, 3, 4}时找零7）。