或许你们都听过这个故事。2006年，俄罗斯的数学家佩雷尔曼（Grigori Perelman）一举解决了著名的庞加莱猜想。荣誉和金钱，对佩雷尔曼而言唾手可得。然而，他却表示并不想跟“凡夫俗子”们一块玩，不仅拒绝了100万美元的奖金，也拒绝了代表数学界的最高荣誉之一的菲尔兹奖。

佩雷尔曼所解决的难题正是2000年美国克雷数学研究所（Caly Mathematics Institute）公布的七个千禧年大奖数学难题之一。为了彰显这些问题的重要性，一旦有人能为其中任何一个问题提供正确详细的解答，便可获得100万美元的奖金。虽然赠与每个问题的解答着的奖金是有限的，但解决这些问题所能带来的价值却是无价的。

从公布到现在，除庞加莱猜想外的另外六个问题仍未被解决。

2018年初始，让我们来重新回顾一下这六个大问题：

1. P vs NP问题

在数学和计算机科学的世界中，有许多问题是我们知道改如何通过计算机程序来迅速解决的，例如基本的算术、排序问题、数据搜索等等。这些问题都可在“多项式时间”（简称P）内解决。它意味着完成加和运算、为列表排序一类任务所需的步骤，在多项式级别上受如数字的多少、列表的长短等因素影响。比如说，如果程序运行时间随着数据规模增大而等量增大，那我们称这个程序的时间复杂度为O(n)。比如在n个数中找最大值的算法。程序需要在遍历所有数值之后得到最大值。输入数据的规模n增大，所需要遍历的时间也等量增大。

但还有一种问题，对这些问题来说我们能轻易判断它们的可能解是否正确，但却无法知道如何高效的找到一个解。例如寻找一个大数字的素因数就属于这类问题，如果有一串可能的素因数，可通过将它们相乘来检验得到数字是否是原始数字；但却并没有一个可以迅速找到任意一个数的素因数的方法。 而正是这个事实，为互联网安全提供了理论依据。现在普遍使用的RSA算法正是利用了寻找大数质因数的复杂度被普遍认为是最优秀的互联网公钥生成方案之一。这些我们能迅速检查可能解却不能迅速解答的问题被称为需在“不确定性多项式时间”（即NP）内解决的问题。

自然，所有P类问题集合都自动包含在NP类问题集合内，因为如果一个问题能被快速求解，自然就可通过直接求解的方式来迅速检查这个解是否正确。P与NP问题的精髓就在于是否所有NP类问题集合也都自动包含在P类问题集合内：如果能有一个方法能迅速检查一个问题的解，那是否存在一个有效的找出这些解的方法？

大多数学家和计算机科学家认为答案是否定的。一个能在多项式时间（P）内解决NP问题的算法，对整个数学、科学和科技领域里都有着不可估量的应用价值，例如生物方面的基因序列比对，经济方面的纳什均衡计算，甚至是计算机领域本身的电路优化及核对。而这些应用能远超人们的想象，以至于人们质疑它们是否可能。

当然，本身要证明这样的算法不存在就是一件使人望而生畏的难题。若要对这一问题作出准确的判断，我们必需对信息和计算的本质有着比现在深入得多的理解，而几乎可以肯定的是，它所具有的意义的深远程度是无可比拟的。

2. 纳维叶-斯托克斯方程

Dan Lacher

在清晨的一杯咖啡中加入少许牛奶，并将之搅拌，会发生什么？这个在日常生活中极为常见的现象，却意外的是个极难被解释的问题。

纳维叶-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（简称NS方程）在流体力学界就相当于经典力学中的牛顿三大运动定律，它们描述的是气体和液体的运动在不同的环境里会如何演化。正如牛顿第二运动定理描述一个物体的速度在外力作用下会如何改变一样，NS方程描述了流体的流动速度会如何受压力、黏度等内力以及重力一类的外力影响。

NS方程是一组微分方程。微分方程是用来描述一个特定的量在给定的初始条件下会如何随时间改变，它们可用来描述几乎所有的物理系统。在NS方程这个例子中，从流体的初始流动开始，我们可以用微分方程来描述这个流体的流动随时间的演化。

求解一个微分方程意味着，通过能描述我们关注的量的那些方程，来找到能在任意时间上我们得到想求的量的数学方程。许多物理系统都是通过微分方程描述的，无论是振动的吉他弦、还是从一个高温物体向低温物体传递的热流。

但NS方程要难很多：从数学角度来讲，目前用来解其他微分方程的技巧对它无效；从物理角度来讲，流体能表现出混沌和湍流行为——例如从蜡烛和香烟流出的烟的初始流动会趋向于平稳并且可以预测，但很快就会陷入不可预测的涡流中。

这种类型的湍流和混沌行为意味着很可能在所有情况下，NS方程都不能被精确求解。或许我们有可能建立一些遵循这些方程的理想数学流体。

任何能够找到在所有情况下解出NS方程、或给出NS方程不能被解开的例子，就能赢得这100万美金。

3. 杨·米尔斯存在性与质量间隙

数学和物理一直都处于一种互利共赢的关系。数学发展往往能为物理理论打通新的研究路径，而新的物理发现又时常激起更深的基础数学解释。

量子力学是有史以来最成功的物理理论之一。物质和能量在原子与亚原子尺度上的行为会表现得非常不同，而20世纪最伟大的成就之一就是发展出了一套用于理解这种行为的理论和实验。

现代量子力学最重要的基础之一就是杨·米尔斯理论（Yang-Mills theory），它利用了从几何对称中得到的数学结构来描述电磁力、弱核力和强核力。杨·米尔斯理论做出的预测经受住了许许多多的实验验证，并且还是理解原子是如何束缚在一起的重要部分。

除去物理上的成功，该理论的数学理论基础至今仍不甚明朗。其中一个特别引起关注的问题就是“质量间隙”（mass gap），它要求一些亚原子粒子在某种程度上能与光子类似，是没有质量的。质量间隙是用来解释为何核力的强度要远高于电磁力和引力、但作用范围却极短的重要概念。

因此这一千禧年问题就是要展示出杨·米尔斯物理理论背后的数学基础，并对质量间隙作出一个完整的数学解释。

4. 黎曼假设

黎曼。| 图片来源：Wikimedia Commons

素数（质数）一直是数学家们最关注的课题之一。从基础层面说来，素数就像是物理世界中用于构筑万物的原子，所有整数都能被分解成一组独一无二的素数。

基于素数在数学中的核心地位，研究素数如何沿实数直线分布（或者说每个素数之间的距离有多远）是数学家的兴趣所在。

到19世纪，数学家已经发现了许多个可给出素数之间的近似平均距离的公式。但是，仍处未知的是素数的确切分布与这个平均值相距多远，也就是说，根据那些均值公式，实数直线上是否存一些素数“太多”或“太少”的的部分。

黎曼假设通过根据素数的分布离均值的距离建立范围来限制了这些存在，它是关于一个叫“黎曼ζ 函数”的数学构造的零点分布的猜想。黎曼ζ 函数是在复数平面上的一条特殊曲线，ζ 函数也已成为了数学领域中需独立研究的课题，这使得黎曼假设和与之相关的问题显得都更加重要。

就像其他几个千禧年问题一样，许多证据都在暗示黎曼假设是真的，但是完整详尽的证明却仍依然没有出现。到目前为止，计算机方法已经找到大约10万亿个ζ函数的解，还没有出现一个反例。

另外黎曼假设有许多不成功的证明，其中最著名的错误是由法国数学家 Alan Connes犯下的。Connes 是一位极有声望的数学家，他是1982年的菲尔兹奖得主。他发展了一套叫非交换几何的理论，并想用这个理论来证明黎曼假设。在1997年，当他认为自己成功证出之后，便飞到普林斯顿去报告这一成果。可惜很快就被人指出其中存在的错误，而这写错误直至今日也无法挽救。后来他写过一些文章来讲述这种错误对一位数学家所造成的挫败感，在一篇文章中，他这样说道：“按我第一位老师 Gustave Choquet 的说法，公开面对一个著名的未解决问题是一种冒险， 因为别人将更多地记住你的失败而不是其它......在到达某个年龄之后，我意识到 ‘安全地’ 等待自己生命的终点同样是一种让自己失败的选择。”在后来的这20年中，他一直没有停止过对其中的错误进行补救。

还有一个著名的“无人问津”的案例是来自普渡大学的教授 Louis de Branges，他在2004年宣布自己证明了黎曼假设，但一直没人理会。与认为证明了ABC猜想的望月新一相似的是，他也为了证明发展了新的理论；但与望月相反的是，他的学术名声并不好，因此所有人都认为这一定是错的。

当然，从数学角度来说，一个假设有10万亿个为真的例子绝不等于拥有一个完整的证明，这让黎曼假设到现在为止仍位列未解难题的行列中。

5. 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

Flickr/Ozzy Delaney

数学研究的最古老、最广的对象之一就是丢番图方程，或者说是我们想要寻求整数解的多项式方程。最经典的一个例子就是我们在初中几何课上就学过的毕达哥拉斯三元组数，或者说三组满足毕氏定理、也就是勾股定理 x²+y²=z² 的整数。

椭圆曲线的研究历史已经有200多年了。椭圆曲线是被一种用特别类别的丢番图方程所定义的曲线。这些曲线对数论和密码学都有着重要应用，而寻找这些曲线的整数或有理数解是该领域的主要研究。

最近几十年来，数学界最闪耀炫酷的进展就是 Andrew Wiles 对经典费马大定理的证明，它证明的是更高阶版的毕达哥拉斯三元组数并不存在。 Wiles对费马大定理的证明导致了对椭圆曲线理论的更广的发展。

而贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（BSD猜想）为理解由椭圆曲线定义的方程的解提供了一套额外的分析工具。

6. 霍奇猜想

Claudio Rocchini via Wikimedia Commons

总的来说，代数几何的数学规则是研究可用代数定义为代数方程的解集的高维形状。

举一个最简单的例子，如果你还记得中学代数里学过的y=x²，当该方程的解在一张纸上画出来时，就会得到一个抛物线的形状。代数几何处理的就是在考虑多元多项的复数方程系统时的更高纬度版本的曲线。

在20世纪，数学家发展出许多更加成熟的技巧以便更好的理解代数几何的研究对象，比如曲线、曲面和双曲面。这些难以想象的形状可通过复杂的计算工具变得更易接受。霍奇猜想认为某些特定的几何结构具有一种特别有用的，可用来更好的将这些形状研究和分类的代数对应。

霍奇猜想没有有效的计算证据，因为无法找到对的方法来进行一般情况的计算。因此，数学家仍不能确定霍奇猜想是否正确。另外，从另一个角度来看，相较于黎曼猜想，霍奇猜想可以错，但黎曼猜想不能。因为若黎曼猜想是错的，导致的后果是世界的崩塌；而霍奇猜想若是错了，后果也只是会让世界更复杂却不会崩塌。

以上便是六个千禧年数学难题的简单描述。任何有志于解开其中一个问题的读者可以在克雷数学研究所官网中阅读到对这六个问题的详尽描述。