一、教材引言的三个意图：

(1）通过生活中的实际例子，表明了现实中的计数问题普遍存在，学习一些计数知识是非常重要的；

(2）概述了研究计数问题的目的，即“如何能不通过一个一个地数而确定出这个数”，即要探究计数的技巧；

(3）明确了本章要学习的主要内容。

二、本章需要掌握的内容有：

3个重要原理（定理）：分类加法计数原理、分步乘法计数原理、二项式定理；

6个重要概念：排列、排列数、组合、组合数、二项式系数、项的系数；

3个重要公式：排列数公式、组合数公式、二项展开式的通项；

5种重要关系：分类与分步、排列与组合、排列与排列数、组合与组合数、二项式系数与项的系数；

2个重要性质：组合数的性质、二项式系数的性质；

7种重要方法：列举法、树状图法、整体法、插空法、捆绑法、排除法、赋值法。

三、思想方法归纳

1，分类与整合的思想

在本章中，分类与整合的思想有着广泛的应用。应用分类与整合的思想解决问题，必须保证分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，并力求简捷。

2，正难则反的思想方法

“正难则反”是一种重要的解题方法，即从问题的反面进行思考，通过排除，即可使诸多较复杂的计数问题简单化，当问题从正面考虑比较复杂，而反面比较简单时，可用这种方法解题。

3，化归与转化的思想

化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题。在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解。在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解。

四、专题归纳总结

1，两个计数原理的应用

用两个计数原理解决问题的关键在于正确区分“分类与“分步”分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成整个事情；分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法只能完成事情的某一部分。分类要做到不重不漏，分步要做到“步骤完整”。

点评：计数问题的类型多样，在实际应用中，恰当分类，合理分步是解决计数问题的基本思路。以元素的性质或位置的不同分类，以事件发生的过程分步，正确使用两个计数原理及排列与组合计数。当问题既涉及排列又涉及组合时，一般采用“先组合后排列”的方法，即“先选后排”，可避免重复与遗漏。

2，排列组合问题

在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题。解决此类问题时，只有认真审题，才能把握问题的实质，常用的方法有：

(1）合理分类，准确分步；

(2）特殊优先，一般在后；

(3）直接间接，灵活选择；

(4）元素相邻，捆绑为一；

(5）元素相间，插空解决；

(6）抽象问题，构造模型。

a，分行排列问题

将不同的元素排成若干行的排列问题，若没有特殊要求，则等价于所有元素的全排列。当元素有限制条件时，可优先安排特殊元素，再将其余元素全排列。

b，带有多个限制条件的计数问题

对于含有多个限制条件的计数问题，通常有两种解题途径：一是通过分析每个限制条件，分类或分步逐一满足各条件，利用直接法求解；二是先满足部分限制条件再排除不符合条件的计数，即利用部分排除法求解。

点评：排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列。对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住。相邻元素“捆绑”，不相邻元素“插空”，特殊位置、特殊元素优先处理。

c，错位排列问题

所谓错位排列问题是元素编号与位置编号都不一致的一种排列问题，当元素个数较少时可采用枚举法计数。

d，圆排列问题

所谓圆排列，即n个不同的元素围成一个圆圈时的排列，它与按顺序排成一列的排列是不同的，因为圆排列中按1-2-3的排列与按2-3-1,3-1-2的排列是一样的图形。（如图6-4-3)

所以其排列方法数比我们熟悉的排列方法数要少。一般地，n个元素的圆排列，其排法有（n-1)！种。下面使用递归的方法，推导这个公式。

从最简单的推起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即（1-1)!，两个人时也只有一种排法，即（2-1)!。

为了清晰表示这种情况，用简单的图形（图6-4-4）表示，可以基于下面的思路：三个人圆排列时，可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列时有（2-1)！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×(2-1)!=(3-1)！种。同理，四个人圆排列时，可以看成是在三个人圆排列的基础上再加一个人，三个人的圆排列有（3-1)！种，同时三个人之间会形成三个空隙，我第四个人可以从三个空隙中任选一个坐下，故四个人的圆排列有3×(3-1)!=(4-1)！种，依次类推，n个人圆排列时，可以看成是在（n-1）个人圆排列的基础上再加一个人，(n-1）个人的圆排列有（n-2）!种，同时(n-1)个人之间会形成(n-1)个空隙，第n个人可以从(n-1)个空隙中任选一个坐下，故n个人的圆排列有(n-1)×(n-2)!=(n-1)!种。

3，二项式定理及其应用

求二项展开式的特定项通常是先根据条件求r，再求Tr+1,有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1。有些多项式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决，有时也可以通过组合解决。

4，二项式系数的性质

对于二项式系数的问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的重要方法。