1 介绍

朴素贝叶斯 (Naive Bayes) 是贝叶斯分类算法中最简单的一个，一般用于处理二分类或多分类任务。该算法围绕着一个核心进行展开：贝叶斯定理。本文会从易于理解的角度对朴素贝叶斯的原理进行介绍，然后是代码的实现，以加深对算法的理解。

2 原理2.1 贝叶斯定理

首先看一下算法的核心，贝叶斯定理。

定理由来：

对于事件A与事件B, 有条件概率公式：

因为 P(AB) = P(BA) , 所以:

将 P(A) 除到左边，即得到贝叶斯定理：

贝叶斯定理有什么用呢？

一般对于 P(B|A) 难以计算时，会利用贝叶斯定理，将计算转换成对 P(A|B)、P(B)、P(A)的计算。

2.2 朴素贝叶斯算法

那么如何将朴素贝叶斯用于实际的分类任务呢？

将贝叶斯定理中的事件A看作特征，将事件B看作类别，即得到以下形式：

其中，左式 P(类别|特征) 的含义是：在指定特征的情况下，某一类别出现的概率。就相当于在知道某样本各个特征的情况下，计算该样本属于每个类别的概率。如果能计算出这个概率值，取最大概率对应的类别作为样本的预测类别就行了。

那么 P(类别|特征) 好不好求呢？答案是否定的。此时就可以利用朴素贝叶斯公式将 P(类别|特征) 的计算转换成 P(特征|类别)、P(类别)、P(特征) 的计算，这三个概率值是比较容易计算的，在训练样本的特征及类别上进行统计即可得到。

在实际的分类任务中，特征通常不只一个，即：

计算这个概率值时，如果直接去统计在某一类别的条件下，同时符合这些特征的样本个数，然后再相除，得到的概率结果会非常小。因为同时符合这些特征的样本个数非常少，所以朴素贝叶斯算法将这个概率拆分成多个条件概率的累乘。

朴素贝叶斯算法假设各个特征是相互独立的，所以可以将概率拆分成多个条件概率累乘。这也是算法名称中朴素二字的由来，该算法需要预先假设样本各个特征之间相互独立。 同理，分母 P(特征) 也可拆分计算。

此时，有了P(特征|类别)、P(类别)、P(特征) 三个概率值，然后根据得到的 P(类别|特征) 的概率值将测试样本分类即可。

需要注意的问题：

1 、特征太多时，多个小于1的概率值累乘可能会造成下溢出，可以将使用 log 计算将累乘转换成累加，避免下溢出。

这段话的意思是，当特征数量较多且每个特征的概率值都小于1时，进行多个概率值的累乘操作可能导致数值过小而出现下溢出（underflow）的情况。为了解决这个问题，可以使用对数计算将累乘转换为累加，以避免下溢出的问题。下面是一段代码示例，说明了如何使用对数计算来避免下溢出问题：

import numpy as np# 假设有一组小于1的概率值probabilities = [0.3, 0.5, 0.2, 0.4, 0.6]# 使用累乘计算概率的乘积product = np.prod(probabilities)print("Product:", product)  # 输出结果可能会接近零# 使用对数计算将累乘转换为累加log_product = np.sum(np.log(probabilities))print("Log Product:", log_product)  # 输出结果较为稳定，不会接近零

2 、如果某一类别下特征m没有出现，此时 P(特征m|类别)=0, 这会造成最终的概率值为0, 所以可使用贝叶斯平滑，就是在分子分母分别加1，可避免0概率出现的情况。在样本量充足的情况下，平滑不会对结果产生影响。

这段话的意思是，当某一类别下的特征未在训练集中出现时，计算概率时会出现分母为0的情况，导致最终的概率值为0。为了避免这种情况，可以使用贝叶斯平滑（也称为拉普拉斯平滑或加法平滑），即在分子和分母中都加上一个平滑参数（通常为1），以避免概率值为0的情况发生。

以下是一段代码示例，演示了使用贝叶斯平滑计算概率的过程：

import numpy as npimport pandas as pdclass NaiveBayes(object):    def __init__(self, X_train, y_train, smoothing=1):        self.X_train = X_train  # 样本特征        self.y_train = y_train  # 样本类别        self.smoothing = smoothing  # 平滑参数    def get_frequency(self, data, feature, value):        num = len(data[data[feature] == value])  # 个数        return (num + self.smoothing) / (len(data) + self.smoothing * len(data[feature].unique()))    def predict(self, X_test):        # 预测过程...# 创建一个示例数据集data = pd.DataFrame({'feature': ['A', 'A', 'B', 'B'], 'label': [1, 1, 0, 0]})# 分割特征和标签X = data[['feature']]y = data['label']# 创建朴素贝叶斯模型对象并进行训练model = NaiveBayes(X, y, smoothing=1)

优点：

1 不同于线性模型，朴素贝叶斯基于统计而不是基于权重的迭代优化，逻辑简单，容易实现；

2 分类过程的时间与空间复杂度都比较小。

缺点：

1 只能处理分类任务，并且只在样本特征较少的情况下，分类效果最好；

2 特征之间相互独立的假设在实际中通常是不成立的，在特征间相关性较大时或者特征数量较多时效果不好。

4 代码实践

理解算法的最好做法就是用代码实现它。在下面代码中，我加入了充分的注释以易理解。

import numpy as npimport pandas as pdclass NaiveBayes(object):    def __init__(self, X_train, y_train):        self.X_train = X_train  #样本特征        self.y_train = y_train  #样本类别        #训练集样本中每个类别(二分类)的占比，即P(类别)，供后续使用        self.P_label = {1: np.mean(y_train.values), 0: 1-np.mean(y_train.values)}    #在数据集data中, 特征feature的值为value的样本所占比例    #用于计算P(特征|类别)、P(特征)    def getFrequency(self, data, feature, value):        num = len(data[data[feature]==value]) #个数        return num / (len(data))    def predict(self, X_test):        self.prediction = [] #预测类别        # 遍历样本        for i in range(len(X_test)):            x = X_test.iloc[i]      # 第i个样本            P_feature_label0 = 1    # P(特征|类别0)之和            P_feature_label1 = 1    # P(特征|类别1)之和            P_feature = 1           # P(特征)之和            # 遍历特征            for feature in X_test.columns:                # 分子项，P(特征|类别)                data0 = self.X_train[self.y_train.values==0]  #取类别为0的样本                P_feature_label0 *= self.getFrequency(data0, feature, x[feature]) #计算P(feature|0)                data1 = self.X_train[self.y_train.values==1]  #取类别为1的样本                P_feature_label1 *= self.getFrequency(data1, feature, x[feature]) #计算P(feature|1)                # 分母项，P(特征)                P_feature *= self.getFrequency(self.X_train, feature, x[feature])            #属于每个类别的概率            P_0 = (P_feature_label0*self.P_label[0]) / P_feature            P_1 = (P_feature_label1 * self.P_label[1]) / P_feature            #选出大概率值对应的类别            self.prediction.append([1 if P_1>=P_0 else 0])        return self.prediction

使用测试：

from sklearn.datasets import load_irisfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.metrics import accuracy_score#加载数据X, y = load_iris(return_X_y=True)X, y = pd.DataFrame(X[:100]), pd.DataFrame(y[:100])#训练集、测试集划分X_train, X_test, y_train, y_test =  train_test_split(X, y, test_size=0.3)model = NaiveBayes(X_train, y_train)    #训练y_pre = model.predict(X_test)           #预测print(accuracy_score(y_pre, y_test))    #评分：0.8