作者 | 凯文·哈特尼特

来源 | 选摘自《素数的阴谋》，托马斯·林编著，中信出版集团

2017 年一个温暖的春日清晨，许竣珥(June Huh )步行穿过普林斯顿大学的校园。按计划，他将前往麦克唐奈楼上课，但他不太确定怎么去那里。许竣珥是普林斯顿高等研究院的一员，这一远离俗世的研究院毗邻普林斯顿大学校园。作为高等研究院的成员，许竣珥并没有教课的义务，但他自愿教一门叫作“交换代数”的本科高级数学课程。被问及为什么要这样做时，他说：“当你教课时，你多少会做一些有用的事。但做研究时，大多数时候你都在做无用功。”

我们在上课前几分钟到达了教室。教室里零零散散地坐着 9 个学生，其中一个学生趴在桌上睡觉。许埃珥在教室前角找了个位置，从背包里拿出几页皱巴巴的笔记。然后他单刀直入，从上周结束的地方开始讲起。在接下来 80 分钟里，他带领学生们学习了德国数学家大卫•希尔伯特对一个定理的证明，该定理是 20 世纪数学领域最重要的突破之一。

只有少数几所大学在本科阶段讲授交换代数，但普林斯顿会定期开设这门课程。普林斯顿每年招收世界上少数几个最有前途的年轻数学人才。许埃珥说，即使按照这个标准，那天早上他班里的学生也称得上天赋异禀。其中之一，就是那天早上坐在教室前排的那个学生，是唯一一个连续五次在国际数学奥林匹克竞赛中获得金牌的人。

许竣珥在数学生涯伊始并没有得到太多赞誉。小学时考试成绩的不理想使他确信自己并不擅长数学。十几岁时，他的梦想是成为一名诗人。许埃珥的主修专业并不是数学，当他最终申请研究生时，除一所大学外，其他大学都拒绝了他。

9 年后，34 岁的许埃珥已经站在了数学世界的顶峰。他最著名的工作，是与数学家埃里克•卡茨(Eric Katz )和卡里姆•阿迪普拉西托(Karim Adiprasito ) 一起，证明了罗塔猜想(Rota’s conjecture )这一长期存在的问题。1

比证明本身更值得关注的是许埃珥及其合作者实现它的方式一他们找到了一种方法，可以将一个数学领域中的想法重新解释到另一个它们似乎并不属于的数学领域。2017 年春天，高等研究院给许竣珥提供了一个长期的研究员职位。在他之前，这一职位只授予过三位年轻的数学家，其中两人，即弗拉基米尔•沃埃沃德斯基(Vladimir Voevodsky )和吴宝珠(Ng6 Bao Chau)后来获得了数学界的最高荣誉一一菲尔兹奖。

许竣珥在相当晚的时候才开始学习数学，并在之后取得如今的成就，就好比他 18 岁拿起网球拍，20 岁就赢得温布尔登网球公开赛一样，属于几乎不可能发生的事。这是一条从天而降的职业途径，在今天的数学界简直根本不会发生一一即使是为了有个地方待着，以让自己能做出新的发现，通常也需要经历数年的专业训练。然而，如果认为许竣珥的突破是他克服了自己非科班出身的劣势而取得的，那就大错特错了。在许多方面，他的这些突破是其独特经历的产物，是他在大学最后一年偶遇一位传奇数学家的直接结果。这位传奇数学家在某种程度上看出了许埃珥身上连他自己都未曾察觉的天赋。

意外的学徒

1983 年，许竣珥在美国加州出生，当时他父母正在那儿读研究生。两岁时，他们一家人回到了韩国首尔。在那里，许埃珥的父亲教统计学，他母亲成为冷战开始以来韩国最早的俄罗斯文学教授之一。

许埃珥说，在一次糟糕的小学数学考试之后，他对这门学科采取了一种抵抗的态度：他认为自己并不擅长数学，所以决定将其视为“把一个逻辑上必要的陈述叠加在另一个陈述上”的无趣追求。十几岁时，他转而喜欢上了诗歌，认为诗歌是一种真正的创造性表达。“我知道我很聪明，但我无法用成绩证明这一点，所以就开始写诗。”许埃珥说。

许埃珥写了很多诗和一些中篇小说，大部分是关于他自己十几岁时的经历，但没有一篇得以发表。2002 年，许竣珥考入首尔国立大学，当时他就认定自己无法以诗人的身份谋生，于是决定改行当一名科学记者。许竣珥在大学期间主修天文和物理，这也许是无意识地承认了自己潜在的分析能力。

大学最后一年时，许埃珥 24 岁。那一年，著名的日本数学家广中平祐以客座教授的身份来到首尔国立大学。广中平祐当时已经 70 多岁了，在日本和韩国家喻户晓。他于 1970 年获得菲尔兹奖，后来写了一本十分畅销的回忆录《创造之门》(The Joy of Learning)。那一代韩国和日本的父母都会把这本书送给自己的孩子，希望自己的下一代能成为伟大的数学家。在首尔国立大学，广中平祐开设了为期一年的代数几何（一个非常广泛的数学领域）讲座课程。许埃珥也选了这门课，他觉得广中平祐有可能成为他记者生涯中的第一个采访对象。

一开始，广中平祐的课上有 100 多个学生，其中包括不少数学专业的学生，但几周以后，来上课的人就屈指可数了。许埃珥猜测，其他学生退课可能是觉得广中平祐的课很难理解，而他之所以能坚持下来是因为自己并不指望能从这门课中学到什么。

许竣珥说：“数学专业的学生退课是因为他们什么都听不懂。当然了，我也什么都听不懂，但非数学专业的学生对’理解某件事’有不同的标准。我确实理解了他在课堂上展示的一些简单的例子，这对我来说已经很不错了。”

下课后，许埃珥会特意找广中平祐聊天，两人很快就开始共进午餐。广中平祐还记得许竣珥的积极主动。“我并不会拒绝学生，但我也不会主动找学生，他只是正好来找我。”广中平祐回忆道。

许竣珥试图利用这些午餐时间询问广中平祐一些个人问题，但谈话最后总会回到数学上。每到此时，许埃珥都会尽量不暴露自己的无知。“不知怎么的，我很擅长假装听懂他在说什么。”他说。事实上，广中平祐从未意识到自己未来的学生缺乏正规训练。“那不是我记忆深刻的事。他给我留下了深刻印象。”广中平祐说。

随着午餐谈话的继续，两人的关系越来越好。许埃珥毕业后，广中平祐在首尔国立大学又多待了两年。在那期间，许竣珥开始在广中平祐的指导下攻读数学硕士学位。他们几乎总在一起。广中平祐会偶尔回日本，许埃珥就拎着广中平祐的行李穿过机场，跟他一起回去，甚至和广中平祐夫妇一起住在他们位于京都的公寓。

“我问他想不想住酒店，他说不喜欢。他就是这么说的。所以他就住在我公寓的一个角落。”广中平祐说。

在京都和首尔，广中平祐和许埃珥会一起出去吃饭或者长时间地散步，期间广中平祐会停下来给路边的花拍照片。他们成了朋友。“我喜欢他，他也喜欢我，所以我们聊了一些非数学的东西。”广中平祐说。

与此同时，广中平祐继续指导许埃珥，他从一些许埃珥能理解的具体例子开始，而不是直接向许竣珥介绍一些他可能无法掌握的一般理论。特别地，广中平祐教了许埃珥一些关于奇点理论的精微玄妙之处，广中平祐就是在这个领域取得了他最著名的结果。几十年来，广中平祐也一直在努力寻找特征 p 的奇点消解的证明，这是一个重要的悬而未决的问题。“显然，他想让我继续这项工作。”许竣珥说。

2009 年，在广中平祐的敦促下，许埃珥申请了十几所美国的研究生院。他的资历很浅：不是数学专业出身，上过的研究生水平的课程很少，并且在已上的课上也表现平平。许埃珥的入学申请很大程度上取决于广中平祐的推荐，但大多数学校的招生委员会均对此不为所动。除了伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，其他学校都拒绝了他，于是他在 2009 年秋季进入了这所大学就读。

图中的裂缝

在伊利诺伊州，许埃珥开始了一项最终帮助他证明了罗塔猜想的工作。罗塔猜想是意大利数学家吉安-卡洛•罗塔(Gian-Carlo Rota)在 1971 年提出的，它研究的是组合对象一组合对象是一些类似于万能工匠玩具的构造，比如图(graph)这种点和线段粘在一起的“组合”。

考虑一个简单的图：三角形

数学家感兴趣的问题是：给定一些颜色，一共有多少种不同的方法为三角形的顶点着色，可以令任意一条边两端的两个顶点不能有相同的颜色。假设你有 q 种颜色。你的选择如下：

第一个顶点的颜色有 q 种选择：因为开始时你可以使用任何颜色。

相邻顶点的颜色有 q - 1 种选择：因为你可以使用除第一个顶点的颜色以外的任何颜色。

第三个顶点的颜色有 q - 2 种选择，因为你可以使用除前两个顶点的颜色以外的任何颜色。

着色方法的总数将是所有选择的乘积，在这个例子中就是 。

上述方程被称为这个图的色多项式，它有一些有趣的性质。取其每一项的系数：1，-3 和 2。该序列的绝对值一一 1，3, 2——有两个特

殊的性质。第一，它是“单峰的”，即它只有一个峰值，在该峰值之前，

序列只会上升；在该峰值之后，序列只会下降。

第二，它是“对数凹”的，即该序列中任意连续三个数都满足外面两个数的乘积小于中间数的平方。序列（1，3, 5）满足这个要求,但序列（2, 3, 5 ）不满足这个要求。

你可以想象无穷多的图一这些图有更多的顶点和边，这些顶点和边可以通过任何方式相连。每个图都有唯一的色多项式。在数学家研究过的每一个图中，其色多项式的系数总是单峰的和对数凹的。所谓的里德猜想（Read’s conjecture ）即断言上述事实总是成立。许竣珥将开始证明这一猜想。

从某种意义上来说，里德猜想是非常反直觉的。要理解其中的原因，多了解一些如何将图分解成子图并重新组合的过程将很有帮助。考虑一个稍微复杂一点的图一一图 3.4 中的矩形。

矩形的色多项式比三角形的色多项式更难计算，但任何图都可以分解成子图，相比之下子图更容易处理。子图是通过从原图中删掉一条（或多条）边（如图 3.5 所示），或将两个顶点收缩成一个顶点（如图 3.6 所示）而得到的图。

矩形的色多项式等于删掉一条边的矩形的色多项式减去三角形的色多项式。当你注意到与矩形本身相比，删掉一条边的矩形的着色方案应该更多时，这一点就很直观了：在删掉一条边的矩形中，上面没有被一条边相连的两个点会给你更多的着色自由度。(例如，你可以给它们着

上相同的颜色，但当它们相连时，你就不能这么做。）那它能给你多大的自由度呢？恰好是三角形的着色数。

任何图的色多项式都可以通过子图的色多项式来定义，并且所有这些色多项式的系数总是对数凹的。

然而，一般而言，当你对两个对数凹序列进行加减时，得到的序列并不是对数凹的。因此，在组合色多项式的过程中，你会期望对数凹性消失。但它并没有消失，这说明在此过程中还有别的事情在发生。“这就是人们好奇这种对数凹现象的原因。”许竣珥解释道。

寻找隐藏的结构

许竣珥刚到伊利诺伊时并不知道里德猜想。大多数一年级的研究生在课堂上花费的时间要多于在自己研究上的时间，但在结束了跟随广中平祐的三年学徒生活之后，许埃珥有了自己要研究的想法。

在到美国中西部后度过的第一个冬季，许埃珥发展了将奇点理论（这是他跟广中平祐学习的重点）应用于图的技术。在此过程中，许竣珥发现当他从图中构造出一个奇点时，他就可以用奇点理论来证明原来这个图的很多性质一一例如，解释为什么一个图的色多项式的系数会遵循对数凹模式。

这一点对许埃珥来说非常有趣，于是他去查阅图论的文献，想看看是否有其他人解释过他看到的这些对数凹模式。许竣珥发现，对图论学家来说，这些模式仍然是完全神秘的。

许竣珥说：“我发现自己观察到的这种模式实际上是图论中一个著名的猜想，叫里德猜想。从某种意义上说，我在不知道问题的情况下解决了问题。”

许埃珥无意中对里德猜想的证明，以及他将奇点理论与图相结合的方式，都可以看作其朴素数学方法的产物。他了解奇点理论的方式主要是自学和跟随广中平祐的非正式学习。观察过他在过去几年崛起过程的人认为，正是这种经历让他没那么受制于关于哪些数学方法值得尝试的传统观点。“如果你把数学看作一块分为几个国家的大陆的话，我认为许埃珥的情况就相当于，没有人真的告诉他存在这些边界。他绝对不受任何界限的约束。”高等研究院主任罗贝特-戴克赫拉夫说。

许埃珥把自己对里德猜想的证明发布到网上后不久，密歇根大学邀请他去做报告，专门介绍这一结果。2010 年 12 月 3 日，许竣珥在一个坐满了数学家的房间里开始了自己的报告，而这些数学家正是一年前拒绝了他的研究生申请的那批人。至此，许埃珥的天赋在其他数学家眼中已是显而易见。杰西•卡斯(Jesse Kass )当时是密歇根大学的数学博士后研究员。卡斯回忆说，就在许竣珥到访之前，一名资深教员鼓励他去听许竣珥的报告，因为这样“30 年后你就可以告诉你的孙子，你在许竣珥成名之前就听过他的报告了”。卡斯现在是南卡罗来纳大学的教授。

许竣珥的报告没有让大家失望。

“从某种程度上说，这个报告非常优美和清晰；它一下子就切中了要点。对于刚开始读研究生的人来说，能做一个如此清楚的报告的并不多见。”密歇根大学数学家米尔洽•穆斯塔策(Mircea Musta 梃)说。

在许竣珥的报告之后，密歇根大学的教授们邀请他转校，于是许竣珥在 2011 年去了密歇根。到那时，他已经知道里德猜想是一个更宏大更重要的问题一罗塔猜想的特例。

罗塔猜想与里德猜想非常相似，但它的研究对象不再是图，而是一类比图更抽象的，被称为“拟阵”（matroid,图可以看作是一类特别具体的拟阵）的组合对象，以及由拟阵产生的另一种称为“特征多项式”的方程。但两者的基本点是相同的：罗塔猜想预测，任何拟阵的特征多项式的系数总是对数凹的。

罗塔猜想的陈述很简单，证据也很多，但要证明它，也就是解释为什么会出现对数凹性，却极其困难。拟阵本身没有任何东西能表明，为什么对子拟阵的特征多项式进行加减时，这些对数凹性会一致地保持（就像当你对图的色多项式进行加减时，没有明显的理由表明对数凹性会保持一样）。每当观察到一种没有明显原因的模式时，你会自然地深入地表以下一去寻找长成这棵树的根。当许竣珥及其合作者开始攻克罗塔猜想时，他们就是这么做的。

许竣珥说：“在具体的例子中很容易观察到对数凹性。你只需要计算感兴趣的序列，就可以看到对数凹性就在那里。但由于某些原因，解释为什么会出现这一现象是很困难的。”

起初，许埃珥试图推广他在证明里德猜想时使用的奇点理论的技术，但他很快发现，这些技术在更抽象的拟阵领域并不奏效。

这次失败，让许竣珥开始寻找隐藏在拟阵表面之下的、能够解释其数学行为的其他结构。

跨越边界

一些人类理解上的重大飞跃，发生在有人将一个领域的成熟理论推广到另一个领域中看似不相关的现象的时候。以万有引力为例。人们一直明白从高处释放物体，物体就会掉到地面；当牛顿意识到同样的动力学定律可以解释行星的运动时，我们头顶的天空就变得更加清晰了。

在数学中，类似的思想迁移经常发生。1994 年，颇有影响力的数学家威廉•瑟斯顿在他那篇被广泛引用的论文《论数学的证明与进步》(On Proof and Progress in Mathematics)中解释说，"导数”这个概念有几十种不同的理解方式。2 一种是你在微积分中学到的一一导数是一个函数中无穷小变化的度量。但导数也会以其他形式出现：与函数图像相切的直线的斜率，或在特定时刻由函数给出的瞬时速度。瑟斯顿写道：“这是一系列思考或想象导数的不同方式，而非一系列不同的逻辑定义。”

许埃珥对罗塔猜想的研究，涉及对另一个古老数学领域一一“霍奇理论”的重新认识。霍奇理论是 20 世纪 30 年代由苏格兰数学家威廉•霍奇(William Hodge )发展起来的。称其为“理论”只表明它是对某一特定事物的研究，就像你可以说“直角三角形理论”是对直角三角形的研究一样。在霍奇理论中，我们感兴趣的对象是“光滑射影代数簇的上同调环”。

从表面上看，霍奇理论与图或拟阵之间的关系似乎远到不能再远了。霍奇理论中的上同调环是由包含无穷概念的光滑函数产生的。相比之下，像图和拟阵这样的组合对象则是纯粹离散的一一它们是点和线的组合。要问霍奇理论在拟阵的背景下有什么意义，有点儿像问如何求一个球体的平方根，这个问题似乎就没有任何意义。

然而，我们有充分的理由问这一问题。霍奇理论提出之后的 60 多年里，数学家们已经在远离最初代数背景的情形下发现了许多霍奇型结构的例子。这就好像一度被认为是直角三角形唯一来源的毕达哥拉斯关系，后来被证明也可以用来描述素数的分布。

“有一种感觉是，这些结构只要存在，就是基本的。它们可以解释关于数学结构的一些事实，而这些事实很难用其他任何方法解释。”许埃珥说。

在这些新近发现了霍奇型结构的背景中，有一部分是与组合相关的，这促使许竣珥开始思考：这些来自霍奇理论的关系是否能用来解释这些对数凹模式？然而，在一个陌生的领域寻找熟悉的数学概念并不是一件容易的事。事实上，这有点像寻找地外生命一你可能对生命有什么标志性特征有自己的想法，也有可以指引你搜索的线索，但你仍然很难预测新的生命形式会是什么样子。

合作关系的发展

近年来，许竣珥与俄亥俄州立大学的数学家卡茨和耶路撒冷希伯来大学的数学家卡里姆-阿迪普拉西托一起，合作完成了许多他最重要的工作。他们组成了一个不同寻常的三人组。

阿迪普拉西托最初想成为一名厨师。在进入组合学（图论和罗塔猜想等问题所在的数学领域）之前，他在印度各地背包旅行。阿迪普拉西托高中时很喜欢数学，但后来放弃了，因为他觉得“数学对我来说不够有创造性”。卡茨则对独立摇滚乐队有着狂烈的热爱和深入细致的了解，这些都是他早年作为大学电台 DJ （音乐节目主持人）时培养的。三位合作者中，卡茨是最接近拥有典型数学血统的，他认为自己是在未来诗人和未来厨师的创造性想法之间做翻译。

卡茨说：“卡里姆有一些不知道从何而来的惊人想法，而许竣珥对数学应该如何发展有着美好的愿景。通常很难把卡里姆的想法融入许竣珥的愿景中，也许我做的一部分事情就是和卡里姆聊天，把他的想法翻译成更接近数学的东西。”

早在 2011 年，卡茨就开始关注许竣珥证明里德猜想的工作。那时，许埃珥对证明罗塔猜想还没有任何头绪。卡茨仔细阅读了许埃珥关于里德猜想的证明，他发现如果在论证中去掉特定的一步，他就可以用那篇论文的方法给出罗塔猜想在部分情形下的证明。于是他跟许竣珥联系，在短短几个月时间里，两人合写了一篇文章（发表于 2012 年），解释了一小类被称为“可实现的”拟阵的对数凹性。

然而，那篇论文并没有解决罗塔猜想中最难的部分一一证明“不可实现的”拟阵的对数凹性，而拟阵大多数都是不可实现的。前文提到，20 世纪 50 年代出现的霍奇理论最初被定义在“代数簇的上同调环”上。如果你想证明霍奇型结构解释了我们在拟阵中观察到的现象，你就需要找到一种方法来解释如何从拟阵中提取出类似于上同调环这样的对象。对于可实现的拟阵，有非常直接的方法能做到这一点，这也是为什么许埃珥和卡茨能很快证明可实现拟阵的罗塔猜想。但对于不可实现的拟阵，并没有明显的方法可以将上同调环实例化一它们就好比一种语言，这种语言中根本没有词语来表达这个概念。

4 年来，许竣珥和卡茨一直试图在不可实现拟阵的情形下定义霍奇结构，但失败了。在此期间，他们确定了霍奇理论的一个特殊方面--霍奇指标定理（Hodge index theorem ）本身就足以解释对数凹性，但这里存在一个问题：他们无法证明霍奇指标定理对拟阵也成立。

这时，阿迪普拉西托进入了我们的视野。2015 年，他来到高等研究院访问许埃珥。阿迪普拉西托意识到，虽然只用霍奇指标定理就可以解释对数凹性，但要对拟阵证明霍奇指标定理，则要尝试证明（包括霍奇指标定理在内的）更多来自霍奇理论的想法一这三位合作者将其统称为“克勒包”(Kahler package )o

阿迪普拉西托说：“我告诉许竣珥和埃里克，事实上有一种纯组合的方法可以证明它。然后我们很快就想出了一个计划。我觉得是他们提出了问题，我提供了技术。”

这一技术给出了罗塔猜想的完整证明。2015 年 11 月，三人在网上发布了他们的工作。3 从那时起，这项工作就传遍了整个数学界。他们的工作为霍奇理论提供了一个完全来自组合学的视角；反过来，霍奇理论又为解决组合学中的未解问题提供了一种全新的方法。

这项工作也提升了许埃珥的知名度。除了获得了高等研究院的新职位之外，他还经常被认为是菲尔兹奖的有力竞争者一这一奖项每 4 年颁发一次，授予 40 岁以下最有成就的数学家。

分道扬镳

早在 2012 年，刚刚证明了里德猜想的许竣珥就回到自己的母校首尔国立大学，报告了自己的工作。台下的听众中就有他的恩师广中平祐。广中平祐回忆说，当他得知奇点理论可以应用于图论时，他感到很惊讶。报告结束后，广中平祐问许竣珥，这项新工作是否标志着他研究兴趣的改变。

“我记得我问过他，是否完全沉浸于图论之类的东西，而对奇点失去了兴趣。他说不，他仍然对奇点感兴趣。”广中平祐说。

许埃珥也记得那次谈话。事实上，当时他正迈向数学中一个全新的方向。他觉得或许自己只是没准备好大声说出来一尤其对那个改变了他命运的人。许埃珥说：“当时我正要离开这条道路。我想他意识到了这一点，但我还是离开了这条道路。也许是某种心理作用，让我不想承认自己完全舍弃了奇点理论。”

从那以后，许竣珥和广中平祐再也没见过面。广中平祐今年 87 岁（广中平祐生于 1931 年，在本书英文版出版时（2018 年）87 岁。——编者注），业已退休，但他仍然致力于证明奇点理论中一个困扰了他几十年的问题（即前文提到的“特征 P 的奇点消解”问题。——译者注）。2017 年 3 月，广中平佑在哈佛大学他曾经的个人主页上发布了一篇长文，宣称给出了一个证明。包括许埃珥在内的一些数学家已经初步审查了这一工作，但尚未验证该证明是否成立。广中平祐的身体状况已不再适合长途旅行，但他还是希望能再次看到自己的爱徒。“我只能从别人那里听到他的消息。”广中平祐说。

一天下午，我们在高等研究院校园内许竣珥的公寓里喝咖啡，我问他，他对没有从事广中平祐可能希望他从事的领域有何感想。他想了一会儿，说他很愧疚。

他说：“和广中先生在一起的很多时候，我都不得不假装自己理解他的意思。由于缺乏数学背景，我无法和他一起进行严肃的研究。这给我留下了一份需要长期补习的功课。”

与此同时，许埃珥认为，自己从数学启蒙到今天所走过的道路，对他的工作发展是有利的，或许还可以说是必要的步骤。我们在普林斯顿的一个街角分别时，他说：“我需要思考的空间。”然后，他就遁入了高等研究院安静的氛围。许埃珥找到了自己进入数学的路，现在他在路上了，他将通过它找到自己的路。

《素数的阴谋》编著：托马斯·林

出版社：中信出版集团

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