上帝不掷骰子

在拙文贝特朗悖论之争的终极原因——这只是一道缺少条件的数学开放题中说，1494年，意大利数学家帕西沃里（L.Pacioli,1445～1509）在《算术、几何、比例和比例性概论》一书中有这样一道题：

甲乙两人玩一种游戏，事先约定先赢6局者胜.但当甲赢了5局，乙赢了3局时，游戏终止了.试问赌金如何分配？

帕西沃里把这个问题简单地当成了关于比例的问题，得出了一个答案：5:3。后来人们对帕奇欧里的分配原则一再表示怀疑,总觉得有什么不对头的地方。举例说:如果一场比赛需要胜16局才算赢的话,那么,当两个赌徒中一个已胜15局,另一个才胜12局的情况下,赌博被迫中断,该怎么分赌金呢?这时场上的形势是:已经胜15局的赌徒,胜券在握,只要再胜1局,就可得到全部赌金。而另一名赌徒却需要连胜4局才行,这可是一件相当艰难的事。可是按帕西沃里的分配原则,他们两人所分的赌金应当是15:12=5:4,相差并不太多。看来,这种分配原则是不够公平合理的。然而,当时没有人找到更加合适的办法。

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根

同时代的意大利数学家卡兰奇则认为答案应该是甲乙所需再赢的局数（这个思路是很重要）的反比，即：3:1。而在以后的100多年里，也没有人给出这类问题的正确答案。后来意大利数学家卡丹和塔塔里亚都在自己的著作中提及类似的问题。概括一下，该问题就是：

甲乙两人（赌技相当）两人赌博，事先约定先赢p局者胜，但当甲只需再赢m局，乙只需再赢n局就能胜出的情况下赌博终止了。试问甲、乙二人如何分配赌金？

这就是数学史上著名的“点数问题”。卡当的答案是（1+2+3+…n）:（1+2+3+…m）;塔塔里亚的答案是（p-m+n）:（p-n+m）,可惜这两个人的答案都是错的。意大利数学家裴福隆（1509～1559）在1558年出版的《算术几何基础》中也有相似的问题，但他的答案也是错误的，不过比帕西沃里有了进步，距离正确答案仅有一步之遥了。

钱币上的帕斯卡

时间又过去了一百年。公元1651年夏天,当时饮誉欧洲号称“神童”的数学家巴斯卡(B, Pascal,1623~1662),在旅途中偶然遇到了赌徒梅累,梅累是一个贵族公子哥儿,他对巴斯卡大谈“赌经”,以消磨旅途时光。梅累还向巴斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。

问题是这样的:一次梅累和赌友掷骰子,各押赌注32个金币。梅累若先掷出三次“6点”,或赌友先掷出三次“4点”,就算贏了对方。赌博进行了一段时间,梅累已掷出了两次“6点”,赌友也掷出了一次“4点”。这时,梅累奉命要立即去晋见国王,赌博只好中断。那么两人应该怎样分这64个金币的赌金呢?

赌友说,梅累要再掷一次“6点”才算赢,而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样,自己所得应该是梅累的一半,即得64个金币的三分之一,而梅累得三分之二。梅累争辩说,即使下一次赌友掷出了“4点”,两人也是秋色平分,各自收回32个金币,何况多那一次自己还有一半的可能得16个金币呢?所以他主张自已应得全部赌金的四分之三,赌友只能得四分之一。公说公有理,婆说婆有理。

费尔马

梅累的问题居然把巴斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年,终于在1654年悟出了一些眉目。于是他把自己的想法写信告诉他的好友,当时号称数坛“怪杰”的费尔马( Fermat,1601-1665),两人对此展开了热烈的讨论。后来荷兰数学家惠更斯(C· Huygens,1629~1695)也加入了他们的探讨行列。他们得出一致的意见是,梅累的分法是对的!惠更斯还把他们讨论的结果,载入1657年出版的一本叫《论赌博中的计算》的书中。这本书至今被公认为概率论的第一部著述。

梅累的分法为什么是对的?巴斯卡和费尔马他们又是怎么想的?

帕斯卡和费马的通信现存8封,有6封信是写于1654午,其中有4封是讨论机会游戏和点数问题的,另外2封写于1660年,与机会游戏无关,就不作叙述.

帕斯卡写给费马的第一封信已不复存在,大概就是提了这个点数问题。费马给帕斯卡回了信(没有日期),讲了他的方法：就是列出赌局继续下去时可能出现的所有情况。以三点的情形为例,甲己赢了2点，乙已赢了1点,此时终止,该如何分配赌金?费马列出甲可能出现的所有情况:赢赢、赢输、输赢、输输发现前三种情况都是甲胜,而乙只在第四种情况胜出,因此甲、乙应得赌金之比为3:1.

在1654年7月29日,帕斯卡给费马的回信就是从讨论点数问题(3；2：1)开始的。设甲、乙各下注32金币,且甲已赢2点,乙已赢1点时终止了。帕斯卡用的是“期望值方法”假设继续,若甲赢,则可得全部赌金64金币,若乙赢则两人平局,而两人赢下一局机会均等,故各得32金币,因此甲可对乙说:“即使我输了下一局,也总能得32金币,至于另外32金币,我们机会均等,应平分。即甲得48金币,乙得16金币,甲、乙两人应得赌金之比为3：1,与费马的结果一样。随后,帕斯卡又用同样方法回答了点数问题(3；2:0),(3；1:0)的情况,并得到了两个一般结论。

费马的回信也已不复存在,帕斯卡的第二封信写于1654年8月24日。在信中帕斯卡讨论了费马解决点数问题的方法,并用此方法来解决点数问题(n;(n-2):(n-3))的情况（下面解决的是问题的变形题，（6；4:3））:若继续赌,最多再有4局总能决出胜负,然后列举出两人接下来的所有情况共16种,发现甲有11种情况胜出,乙有5种,故甲、乙所得赌金之比为11:5……。

早期的帕斯卡三角形

帕斯卡在1654年写成《论算术三角形》一书中，将算术三角形应用于两个赌徒的点数问题，得出了一般化的结论：设甲需再赢m点，乙需再赢n点，才能最终胜出，此时终止，该如何分配？则甲、乙应得赌金之比为

下面看看如何用帕斯卡三角形来解决这个问题。实际上这个三角形就是我们常说的杨辉三角形（杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半页贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。）

帕斯卡利用这个三角形求从n件物品中一次取r出件的组合数，由上图可知，三角形的第五行出现的数恰好是甲出现次数的组合数（考虑的情况是（6；4:3）），其中1是甲出现4次，4是甲出现3次的组合数等等。因此赌金按照（1+4+6）：（4+1）=11:5的比例分配。

正是帕斯卡和费马的通信，使点数问题得到了正确的解决，所以数学史上把帕斯卡和费马作为概率论的真正创始人。

思考：

①费马的解法简单直接，把问题划归成古典概型问题，从还需要比赛的场次出发，即是从问题的反面进行考虑，解法之简单与理解之容易让人击节赞叹。

②解法汇总（考虑的情况是（6；4:3））

解法一

甲、乙输赢的概率树

正常情况下，赌局可能会经过2轮、3轮、4轮结束，那么所有可能的结果为：甲甲、甲乙甲、乙甲甲、乙乙乙、甲乙乙甲、乙甲乙甲、乙乙甲甲、甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙。

甲出现两次说明甲获胜，那么甲获胜的情况为以上有下划线的六种，这六种各自出现的概率分别是1/4，1/8，1/8，1/16，1/16，1/16，又者六种情况互斥，所以用概率的加法公式得到甲获胜的概率=11/16.故而赌金按11:5分配。

解法二

类似于上图，不过把详细的过程用矩形表示，比上面还要一目了然。

甲、乙输赢概率图（阴影部分为甲获胜可能区域）

解法三

因题设甲、乙二人取胜的机会均等，故而可用硬币替代对弈，即将一枚均匀硬币抛掷4次，约定出现正面为甲赢，出现反面为乙赢，那么“甲获胜”即“出现正面数≥2”；“乙获胜”即“出现反面数≥3”，亦即是“出现正面数≤1”.依据古典概型公式，得

解法四

在解法三的基础上分析，考虑到将一枚均匀硬币连续抛掷4次，属于贝努里试验，构成4重贝努里概型。设随机变量X表示4次中正面出现次数（亦即甲赢得次数）。那么X服从二项分布b(4;1/2)，且有

解法五

运用上面帕斯卡得到的一般化运算公式代入即可。

延误了整整一个半世纪的分取赌金问题的风波,终于以概率论的诞生而宣告平息。然而,这门在此后科学上功勋卓著、光彩照人的数学分支,却因此背上了“出身不正”的名声。