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大家好，我是小彭。

上周末是 LeetCode 第 337 场周赛，你参加了吗？这场周赛第三题有点放水，如果按照题目的数据量来说最多算 Easy 题，但如果按照动态规划来做可以算 Hard 题。

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周赛概览

2595. 奇偶位数（Easy）

题解一：模拟 O(lgn)题解二：位掩码 + bitCount O(1)

2596. 检查骑士巡视方案（Medium）

题解一：模拟 O(n^2)

2597. 美丽子集的数目（Medium）

题解一：回溯 O(2^n)题解二：同余分组 + 动态规划 / 打家劫舍 O(nlgn)

2598. 执行操作后的最大 MEX（Medium）

题解一：同余分组 + 贪心 O(n)2595. 奇偶位数（Easy）题目地址

题目描述

给你一个 正 整数 n 。

用 even 表示在 n 的二进制形式（下标从 0 开始）中值为 1 的偶数下标的个数。

用 odd 表示在 n 的二进制形式（下标从 0 开始）中值为 1 的奇数下标的个数。

返回整数数组 answer ，其中 answer = [even, odd] 。

题解一（模拟）

简单模拟题。

写法 1：枚举二进制位

class Solution {    fun evenOddBit(n: Int): IntArray {        val ret = intArrayOf(0, 0)        for (index in 0..30) {            if (n and (1 shl index) != 0) {                ret[index % 2]++            }        }        return ret    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(U) 其中 U 是整数二进制位长度；空间复杂度：O(1) 仅使用常量级别空间。

写法 2：不断取最低位，然后右移 n，当 n 为 0 时跳出：

class Solution {    fun evenOddBit(n: Int): IntArray {        val ret = intArrayOf(0, 0)        var x = n        var index = 0        while (x != 0) {            ret[i] += x and 1 // 计数            x = x ushr 1 // 右移            i = i xor 1 // 0 -> 1 或 1 -> 0        }        return ret    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(lgn)空间复杂度：O(1) 仅使用常量级别空间。题解二（位掩码 + bitCount）

使用二进制掩码 01010101 取出偶数下标，再使用 Integer.bitCount() 计算位 1 的个数：

class Solution {    fun evenOddBit(n: Int): IntArray {        val mask = 0b0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101        return intArrayOf(            Integer.bitCount(n and mask),            Integer.bitCount(n) - Integer.bitCount(n and mask)        )    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(1) Java Integer.bitCount() 库函数的时间复杂度是 O(1)，如果按照常规实现是 O(lgn)；空间复杂度：O(1)2596. 检查骑士巡视方案（Medium）题目地址

题目描述

骑士在一张 n x n 的棋盘上巡视。在有效的巡视方案中，骑士会从棋盘的 左上角 出发，并且访问棋盘上的每个格子 恰好一次 。

给你一个 n x n 的整数矩阵 grid ，由范围 [0, n * n - 1] 内的不同整数组成，其中 grid[row][col] 表示单元格 (row, col) 是骑士访问的第 grid[row][col] 个单元格。骑士的行动是从下标 0 开始的。

如果 grid 表示了骑士的有效巡视方案，返回 true；否则返回 false。

注意，骑士行动时可以垂直移动两个格子且水平移动一个格子，或水平移动两个格子且垂直移动一个格子。下图展示了骑士从某个格子出发可能的八种行动路线。

题解（模拟）

二维简单模拟题。

class Solution {    fun checkValidGrid(grid: Array<IntArray>): Boolean {        if (grid[0][0] != 0) return false        val directions = arrayOf(            intArrayOf(1, 2),            intArrayOf(2, 1),            intArrayOf(2, -1),            intArrayOf(1, -2),            intArrayOf(-1, -2),            intArrayOf(-2, -1),            intArrayOf(-2, 1),            intArrayOf(-1, 2)        )        val n = grid.size        var row = 0        var column = 0        var count = 1        outer@ while (count < n * n) {            for (direction in directions) {                val newRow = row + direction[0]                val newColumn = column + direction[1]                if (newRow < 0 || newRow >= n || newColumn < 0 || newColumn >= n) continue                if (count == grid[newRow][newColumn]) {                    row = newRow                    column = newColumn                    count++                    continue@outer                }            }            return false        }        return true    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(C·n^2) 其中 C 是骑士的行走方向，C 为常数 8；空间复杂度：O(1)2597. 美丽子集的数目（Medium）题目地址

题目描述

给你一个由正整数组成的数组 nums 和一个 正 整数 k 。

如果 nums 的子集中，任意两个整数的绝对差均不等于 k ，则认为该子数组是一个 美丽 子集。

返回数组 nums 中 非空 且 美丽 的子集数目。

nums 的子集定义为：可以经由 nums 删除某些元素（也可能不删除）得到的一个数组。只有在删除元素时选择的索引不同的情况下，两个子集才会被视作是不同的子集。

预备知识同余性质：

如果 x % m == y % m，则称 x 和 y 对模 m 同余，即为 x ≡ (y mod m)

乘法定理：

如果某个任务有 n 个环节，每个环节分别有 {m_1, m_2, m_3, …, m_n} 种方案，那么完成任务的总方案数就是 m_1m_2m3…m_n。

题解一（暴力回溯）

由于题目的数据量非常小（数组长度只有 20），所以可以直接使用暴力算法。

算法：枚举所有子集，并且增加约束条件：如果已经选择过 x - k 或 x + k，则不能选择 x。

class Solution {    private var ret = 0    fun beautifulSubsets(nums: IntArray, k: Int): Int {        subsets(nums, 0, k, IntArray(k + 1001 + k)/* 左右增加 k 避免数组下标越界 */)        return ret - 1 // 题目排除空集    }    // 枚举子集    private fun subsets(nums: IntArray, start: Int, k: Int, cnts: IntArray) {        // 记录子集数        ret++        if (start == nums.size) return        for (index in start until nums.size) {            val x = nums[index] + k // 偏移 k            if (cnts[x - k] != 0 || cnts[x + k] != 0) continue // 不允许选择            // 选择            cnts[x]++            // 递归            subsets(nums, index + 1, k, cnts)            // 回溯            cnts[x]--        }    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(2^n) 其中 n 为 nums 数组长度，每个位置有选和不选两种状态，每个状态的时间复杂度是 O(1)，因此整体时间复杂度是 O(2^n)；空间复杂度：O(C) 数组空间。题解二（同余分组 + 动态规划 / 打家劫舍）

这道题如果不使用暴力解法，难度应该算 Hard。

根据同余性质，如果 x 和 y 对模 k 同余，那么 x 和 y 有可能相差 k；如果 x 和 y 对模 k 不同余，那么 x 和 y 不可能相差 k。 因此，我们可以将原数组按照模 k 分组，然后单独计算每个分组内部方案数，再根据乘法定理将不同分组的方案数相乘即得到最终结果。

那么，现在的是如何计算分组内部的方案数？

我们发现，“如果已经选择过 x - k 或 x + k，则不能选择 x ” 的语义跟经典动态规划题 198.打家劫舍 的 “如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警” 的语义非常类似，我们可以套用相同的解题思路：

1、先对分组内部排序，因为只有相邻的数才有可能不能同时选择；

2、定义 dp[i] 表示选择到 i 为止的方案数，则有递推关系：

��[�]={��[�−1]+��[�−2]if ��−��−1=���[�−1]∗2if ��−��−1≠�

如果不选 a_i，那么 a_{i-1} 一定可选，即 dp[i-1] 的方案数。

如果选择 a_i，那么需要考虑 a_{i-1} 与 a_i 的关系：

如果 a_i - a_{i-1} =k，那么 a_i 与 a_{i-1} 不能同时选择，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 表示在 a_{i-1} 和 a_{i-2} 上的方案数之和；如果 a_i - a_{i-1} \not=k，那么 a_i 与 a_{i-1} 可以同时选择 dp[i] = dp[i-1]*2

最后，还需要考虑数字重复的情况，设 c_i 表示 a_i 的出现次数：

如果不选 a_i，则只有 1 种方案，即空集；如果选择 ai_i，则有 2^{c_i} 种方案，最后在减去 1 个空集方案。

整理到递归公式中有：

��[�]={��[�−1]+��[�−2]∗(2��−1)if ��−��−1=���[�−1]∗(2��)if ��−��−1≠�

以 [2, 3, 4, 5, 10], k = 2 为例，按照模 2 分组后：

余数为 0 的分组 [2, 4, 10]：方案为 [2]、[4]、[10]、[2, 10]、[4, 10]余数为 1 的分组 [3, 5]：方案为 [3]、[5]

class Solution {    fun beautifulSubsets(nums: IntArray, k: Int): Int {        // 1、同余分组        // <余数 to <元素，元素计数>>        val buckets = HashMap<Int, TreeMap<Int, Int>>()        for (num in nums) {            val cntMap = buckets.getOrPut(num % k) { TreeMap<Int, Int>() }            cntMap[num] = cntMap.getOrDefault(num, 0) + 1        }        // 2、枚举分组        var ret = 1        for ((_, bucket) in buckets) {            // 3、动态规划            val n = bucket.size            // dp[i] 表示选择到 i 位置的方案数，这里使用滚动数组写法            // val dp = IntArray(n + 1)            var pre2 = 0 // dp[i-2]             var pre1 = 1 // dp[i-1]            var index = 1            var preNum = -1            for ((num, cnt) in bucket) {                if (index > 1 && num - preNum == k) {                    // a_i 不可选                    val temp = pre1                    pre1 = pre1 + pre2 * ((1 shl cnt) - 1)                    pre2 = temp                } else {                    // a_i 可选可不选                    val temp = pre1                    pre1 = pre1 * (1 shl cnt)                    pre2 = temp                }                preNum = num                index++            }            ret *= pre1        }        return ret - 1    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(nlgn + n) 其中 n 为 nums 数组的长度，使用有序集合进行分组的时间复杂度是 O(nlgn)，枚举分组的步骤每个元素最多访问一次，时间复杂度是 O(n)；空间复杂度 O(n)：有序集合空间 O(n)，动态规划过程中使用滚动数组空间为 O(1)。

相似题目

78. 子集784. 字母大小写全排列198. 打家劫舍

近期周赛子集问题：

LeetCode 周赛 333 · 无平方子集计数（Medium）

2598. 执行操作后的最大 MEX（Medium）题目地址

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 value 。

在一步操作中，你可以对 nums 中的任一元素加上或减去 value 。

例如，如果 nums = [1,2,3] 且 value = 2 ，你可以选择 nums[0] 减去 value ，得到 nums = [-1,2,3] 。

数组的 MEX (minimum excluded) 是指其中数组中缺失的最小非负整数。

例如，[-1,2,3] 的 MEX 是 0 ，而 [1,0,3] 的 MEX 是 2 。

返回在执行上述操作 任意次 后，nums **的最大 MEX 。

预备知识同余性质：

如果 x % m == y % m，则称 x 和 y 对模 m 同余，即为 x ≡ (y mod m)

负数取模技巧：

如果 x 和 y 都大于 0，则 x ≡ (y mod m) 等价于 x % m == y % m

10%3==1−4%3==1

如果 x 和 y 都小于 0，则 x ≡ (y mod m) 等价于 x % m == y % m

−10%3==−1−4%3==−1

如果 x < 0，而 y≥0，则 x ≡ (y mod m) 等价于 x % m + m == y % m

−10%3==−1+3==2−4%3==−1+3==25%3==2

可以看到，为了避免考虑正负数，可以统一使用 (x % m + m) % m 对 x 取模，如此无论 x 为正负数，余数都能转换到 [0,m) 范围内。

题解（同余分组 + 贪心）

这道题依然考同余性质。

根据同余性质，如果 x 和 y 对模 value 同余，那么经过若干次操作后 x 总能转换为 y。如果 x 和 y 对模 value 不同余，那么无论经过多少次操作 x 也无法转换为 y。

举个例子：{-10、-4、-1、2、5} 都对模 3 同余，而 1 对模 3 不同余。只要经过若干次 +value/-value，总能转换为同余的其他数；

-10 + 3 * 2 = -4-10 + 3 * 3 = -1-10 + 3 * 4 = 2-10 + 3 * 5 = 5其它同理。-10 无法转换为 1

贪心思路：继续分析题目，由于不同分组中的数不可能转换为其它分组的数，为了让目标 “确实的最小非负整数尽可能大”，应该取尽可能小的同余数，否则无法使结果更优。

举个例子，假设 value 为 3，且不同分组的个数如下：

余数为 0 的分组中有 3 个元素：应该取 0、3、6余数为 1 的分组中有 4 个元素：应该取 1、4、7、10余数为 2 的分组中有 1 个元素：应该取 2、[缺失 5]

如果余数为 0 的分组取 0、6、9，则缺失的元素会变成 4。

class Solution {    fun findSmallestInteger(nums: IntArray, value: Int): Int {        // 同余分组        val buckets = HashMap<Int, Int>()        for (num in nums) {            val mod = (num % value + value) % value            buckets[mod] = buckets.getOrDefault(mod, 0) + 1        }        // 试错        var mex = 0        while (true) {            val mod = mex % value // mex 一定是非负数            buckets[mod] = buckets.getOrDefault(mod, 0) - 1            // 计数不足            if (buckets[mod]!! < 0) break            mex++        }        return mex    }}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n) 其中 n 为 nums 数组的长度，计数时间为 O(n)，试错最多尝试 n 次，整体时间复杂度为 O(n)；空间复杂度：O(value) 散列表最多记录 value 个分组。

相似题目：

264. 丑数 II

OK，这场周赛就讲这么多，我们下周见。