蒙蒂·霍尔问题

最近看到一个很有意思的问题，内容如下：

电视台抽奖游戏，主持人提供三张背景完全一样的牌 a、b、c，其中只有一张有奖，主持人让嘉宾选择其中一张牌，比如嘉宾选了a，在嘉宾选择完以后，注意是选择完以后，主持人翻开了c 牌，并告诉嘉宾c牌确定没有奖（主持人知道哪张有奖，所以一定会翻开没中奖的牌)，问嘉宾是否要将手中的牌从a更换为b。

请从概率角度分析嘉宾是否换牌。

其实该问题只是一个著名概率问题换了种说法而已。该类问题通常称为“蒙蒂·霍尔问题(Monty Hall Problem)”或“三门问题”。

蒙蒂·霍尔（1921年8月25日－2017年9月30日，生于温尼伯），加拿大演员，歌手和运动员，美国电视有奖竞赛节目的主持人。他从1963年到1986年长期主持《Let's Make a Deal》节目。

在他主持的一次电视节目中，有一个有奖游戏的规则如下：

有一辆汽车和两只山羊分别藏于三扇门背后。

参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。

主持人知道每扇门后面有什么。

主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。

主持人永远都会挑一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。

参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

为了使得赢得汽车的可能性最大，就引出了如下类似论述：

你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。因为，如果选手选择换门，赢得汽车的机会将会加倍。

图解法：

这个问题还有一个非常直观的理解：

如果参赛者换的话，那么参赛者会在最初选择是错误的时候获得汽车；

如果参赛者不换的话，那么参赛者会在最初选择是正确的时候获得汽车。

前者发生的概率是

，后者发生的概率是 。

贝叶斯条件概率计算解法：

在计算概率的时候必须要知道问题的全集，该全集包含了所有可能发生的情况，所有情况发生的概率加起来应当等于 1 。

回到文章最开始的翻牌抽奖问题，如果主持人没有翻开 c。那么不论选择a、b、c，中奖的概率都是，全集就是.

而主持人翻开 c 之后，这个全集又是什么呢？

通常的想法是 。但是按照该计算思路，主持人问的就不应是“要不要换”，而是在 a 和b中再重新选择一次。

主持人问的是要不要换，这里全集应该是“”，这与 有本质的区别。但导致这两种全集计算结果不同的根本原因是：“主持人知道哪张牌有奖”。

下面分别就“主持人随机选”和“主持人有目的的选”来计算嘉宾的中奖概率：

贝叶斯公式是关于条件概率的公式，通常，事件A 在事件B发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A发生的条件下发生的概率是不一样的。但这两者之间却是有确定的关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途在于通过已知的三个概率函数推出第四个。

假设有两个事件 A和B，可以根据事件A发生的情况下事件B发生的概率，去求得事件B发生的情况下事件A发生的概率。其公式表述为：

其中 A表示事件A发生，表示事件A不发生；P(A)表示A发生的概率，表示A不发生的概率。

表示事件B发生的情况下，事件A发生的概率;表示事件A发生的情况下，事件B发生的概率; 而表示事件A不发生的情况下，事件B发生的概率 。

跳开 a、b、c 编号的制约（注意这里牌的编号是小写，与后面表示“事件”的大写字母相区分），把嘉宾和主持人的选择的牌有奖分别看成事件A和事件B 。

即，假设嘉宾选择了一张有奖牌为事件 A；主持人选择了一张有奖牌为事件B。P(A) 表示嘉宾选择牌有奖的概率， 表示嘉宾选择牌没有奖的概率，嘉宾面临的问题用贝叶斯公式描述为：

即，按照题目意思是：希望知道事件 (主持人选择的牌没奖)发生的条件下，事件 A (嘉宾选择的牌有奖)发生的概率。

情况1、主持人不知道哪张牌有奖，

所以随意选择一张牌

在这种情况下有: ；(若事件A--嘉宾选择的牌有奖，在该情况下，事件--主持人在剩下两张没奖的牌中选择的牌一定没有奖，条件概率为 1 )；

；(若事件--嘉宾选择的牌没有奖，在该情况下，事件--主持人选择的牌没奖的概率为)。

带入到上面的公式得:

可见，如果主持人只是随机选了一张牌，那么剩下的两张牌中奖的概率是一样的，因为主持人并未引入其他条件信息。

情况2、主持人知道哪张牌有奖，

所以他会故意选择一张没奖的牌

在这种情况下有: ； (若事件 A--嘉宾选择的牌有奖，在该情况下，那么事件--主持人在剩下两张没奖的牌中选择的牌一定没有奖，条件概率为 1)；

；(若事件--嘉宾选择的牌没有奖，在该情况下，事件--主持人一定会选剩下的那张没有奖的牌！！！所以该条件概率为 1 )。

带入到上面的公式得：

可见，如果主持人知道哪张牌没有奖，这时候嘉宾手上的牌有奖的概率只有 ，为了增大中奖率，就要选择换一张牌了。

References

[1] Monty Hall problem - Wikipedia,

[2] Monty Hall - Wikipedia,

[3] Thomas Bayes - Wikipedia,

来源：科研狗

编辑：井上菌

近期热门文章Top10

↓ 点击标题即可查看 ↓

1. 大龄单身狗返乡过年期间瞬时压力激增现象及其应对措施研究

2. 12个革命性的公式

3. 最小有多小？最大有多大？

4. 一幅图读懂量子力学（大神的战争）

5. WiFi穿墙完全指南

6. 为什么你吃的食物跟广告上的永远不一样？

7. 你知道爱因斯坦人生中发表的第一篇论文是什么吗？

8. 出生在显赫世家是怎样的体验？

9. 理论物理学家费纸，实验物理学家费电，理论实验物理学家费？

10. 这些东西，看过的人都转疯了！