模拟大型量子系统或求解大规模线性代数问题等应用对经典计算机来说极具挑战性，因为它们的计算损失极高。量子计算机有望开启这些应用，尽管容错量子计算机可能在几年内都不会出现。目前可用的量子设备有严重的限制，包括有限的量子比特数量和限制电路深度的噪声过程。变分量子算法(VQA)，使用经典优化器来训练参数化量子电路，已经成为解决这些约束的主要策略。VQA现在已经被提议用于研究人员为量子计算机设想的几乎所有应用，最有希望获得量子优势。因此，本文详细介绍了变分量子算法的原理、应用场景、存在的挑战以及应对挑战的方法。

01

变分量子算法的步骤和基本概念

VQA，包括VQE、VQS、QAOA、QCBM、QNN及其日益复杂的改进，已经越来越成熟，成为最适合使用门型NISQ计算机实现量子优势的相关技术主体。VQA利用经典优化工具，在量子计算机上运行参数化量子电路。

图1 变分量子算法（VQA）示意图。VQA的输入是：对问题的解进行编码的损失函数C(θ)，对参数进行训练以最小化损失的ansatz，以及（可能）在优化过程中使用的一组训练数据。在循环的每一次迭代中，我们都会使用量子计算机来有效地估计损失（或其梯度）。这些信息被输入到一台经典的计算机中，该计算机利用优化器的能力来解优化问题。一旦满足终止条件，VQA将输出问题解决方案的估计值。输出的形式取决于具体问题。图中显示了一些最常见的输出类型。

为了使混合经典-量子计算成功，需要克服两个挑战。首先，我们需要找到参数化量子电路，这些量子电路具有表达能力，能够对相关优化问题的最优解产生足够好的近似。第二，量子电路参数的经典优化需要足够快和准确地解决。图2展示了变分量子算法优化过程。

图2 VQA优化流程图。这项工作解决了经典优化部分的复杂性（红色）。

变分量子算法(VQA)的主要优点之一是它们提供了一个通用的框架，可用于解决各种各样的问题。对于一个优化问题，由一个参数化量子电路产生的可观测状态的期望值来定义损失函数；然后将参数优化外包给经典优化器，经典计算机通过优化电路参数的期望值来训练量子电路。如图1所示，变分量子算法（VQA）的步骤如下所示：

1）定义损失函数C，对问题的解进行编码；

2）提出ansatz，即依赖于一组可以优化的连续或离散参数θ的量子操作；

3）使用来自训练集的数据在混合量子经典循环中训练该ansatz以解决优化任务

它有些像是机器学习在量子计算中的自然类比。对于经典机器学习算法，模型通常是一个在经典计算机上运行的神经网络；对于变分量子算法，模型是一个在量子计算机上运行的量子电路[3]。二者的示意图如下：

图3 机器学习算法和VQA算法的对比图

02

变分量子算法中的名词介绍

2.1 损失函数

VQA的一个重要方面是将问题编码为损失函数。类似于经典的机器学习，损失函数将可训练参数θ的值映射到实数，优化任务是找到损失函数的全局最小值：

式中，U(θ)是参数化的酉，θ由离散和连续的参数组成，{ρk }是训练集的输入状态，{Ok }是一组可观察值，fk是编码任务的函数。对于一个给定的问题，可以有不同的fk选择。

损失函数应该满足如下理想准则：（1）因C(θ)的最小值对应于问题的解，损失必须是可信的；（2）在量子计算机上进行测量并可能进行经典后处理，从而来有效地估算C(θ)。这里隐含的假设是，损失不能用经典计算机有效地计算，因为这将意味着VQA不能实现量子优势；（3）C(θ)在操作上是有意义的，较小的损失值代表更好的解；（4）损失必须是可训练的，以便有效优化参数。

2.2 Ansatz

图4 ansatz的示意图。酉U(θ)可以表示为L个酉Ul (θl )的乘积，它们依次作用于输入状态。Ul (θl )可以依次分解为一系列参数化和非参数化门。

ansatz的形式决定参数θ，需要训练它们以最小化损失。一方面，ansatz的具体结构通常取决于具体问题，因为在许多情况下，人们可以利用有关问题的信息来解决问题。另一方面，一些ansatz体系结构是通用的，与问题无关，这意味着即使没有相关信息可用，也可以使用它们。对于(2)，参数可以被编码在酉U(θ)中，应用酉U(θ)于量子电路的输入态。U(θ)的表示形式如下所示：

式中，Wm是一个非参数化的酉，Hm是一个厄米算子。

2.3 优化器

对于任何变分量子算法，VQA的成功取决于所采用的优化方法的效率和可靠性。在这里，我们将讨论一些为变分量子算法设计或推广的优化器。为了方便起见，根据它们是否实现了梯度下降，将它们分为两类。

梯度下降法。最常见的优化方法之一是按照梯度指示的方向进行迭代。鉴于只有统计估计可用于这些梯度，这些策略属于随机梯度下降(SGD)的范畴。一种从机器学习领域引入的SGD方法是Adam，它调整优化过程中采取的步骤的大小，以允许比通过基本SGD获得的解决方案更有效和更精确的解决方案。受机器学习文献启发的另一种方法在每次迭代中调整精度(即每次估计的执行次数)，而不是步长，以节省所使用的量子资源。

另一种不同的基于梯度的方法是基于假设一个假想的时间演化，或者等效地通过使用基于信息几何概念的量子自然梯度衰减法。虽然标准梯度下降在参数空间的l2(欧几里德)几何中的最陡的下降方向上采取步骤，但是自然梯度下降在具有度量张量的空间上工作，该度量张量编码了量子状态对参数变化的灵敏度。使用这种度量，通常会加速梯度更新步骤的收敛，允许用更少的迭代达到给定的精度水平。这种方法也被扩展到包含噪声的影响。

其他方法。在不直接利用梯度的VQA的优化方法中，可能与SGD关系最密切的是同步扰动随机逼近(SPSA)法。SPSA可以被认为是梯度下降的近似，其中梯度由沿着随机选择的方向的有限差分计算的单个偏导数来近似。因此，SPSA被提出作为VQA的有效方法，因为它避免了在每次迭代中计算许多梯度分量。此外，研究表明，对于一组有限的问题，SPSA的理论收敛速度比有限差分SGD更快。

最后，另一个值得注意的无梯度方法是专门为VQA开发的，用于目标函数是算子期望值的线性函数的问题，因此C(θ)可以表示为三角函数的和。我们可以将函数依赖性与几个参数相匹配（其余参数保持不变），从而可以进行局部参数更新。在所有参数或参数子集上顺序执行这种局部更新，并在所有参数上迭代，这样就有了一种无梯度且不依赖于超参数的优化方法。此外，还提出了一种使用Anderson加速来加速收敛的方法。

03

应用

VQA范式的主要优点之一是它允许面向任务的编程。也就是说,变分量子算法提供了一个框架，可用于处理各种各样的任务，变分量子算法领域成为一个蓬勃发展和快速发展的领域，其主要的应用如下述所示：

3.1 寻找基态和激发态

VQA最典型的应用是估计给定哈密顿量的低本征态和相应的本征值。以前寻找给定哈密顿量基态的量子算法是基于绝热态准备和量子相位估计子程序，这两者对电路深度的要求都超过了NISQ时代的水平。因此，第一个提出的VQA是变分量子本征求解器(VQE)，被开发来估计给定哈密顿量的基态和低激发态。在这里，介绍了原始的VQE体系结构以及一些更先进的寻找基态和激发态的方法。

图5 变分量子本征求解器(VQE)实现。VQE算法可以用来估计分子的基态能量EG。系统的相互作用用哈密顿量H来编码，通常用简单算子的线性组合表示。以H作为输入，VQE输出基态能量的估计。在图中，我们展示了一个分子的电子结构问题的VQE实现的结果，其确切的能量用虚线表示。实验结果是在IBM的一个超导量子处理器中使用两个量子比特获得的(插图显示了量子比特连接)。由于硬件噪声的存在，估计能量与真实能量存在差距。事实上，增加噪声强度(即增加数量c)会使解的质量变差。

变分量子本征求解器(Variational quantum eigensolver)。如图5所示，VQE的目的是找到一个哈密顿量H的基态能量，损失函数定义为。对于某个ansatz U(θ)和初始状态，寻求在试验状态上最小化H的期望值。根据Rayleigh-Ritz变分原理，当时，损失是有意义的和可靠的，其中是H的基态时，等式成立。实际上，哈密顿量H通常表示为泡利算符乘积的线性组合，即，从而从泡利算符的期望值的线性组合中获得损失函数C(θ)。由于实际的物理系统通常由稀疏的哈密顿量来描述，因此可以在量子计算机上有效地估计损失函数，其计算损失通常最多随系统大小成多项式增长。

正交约束VQE（orthogonality constrained VQE）。一旦得到近似的基态，就可以用它来求H的激发态。若a是一个比基态和第一激发态之间的能隙大得多的正常数，那么，是一个哈密顿量，它的基态是H的第一激发态。通过对使用VQE更新损失：

可以找到h的第一激发态。式中的第一项由VQE算法估计，第二项通过计算和叠加态而得。这个过程可以进一步推广到近似的高激发态。此外，研究表明，引入虚时间演化可以提高计算的稳健性。

子空间VQE（subspace expansion method）。子空间VQE背后的主要思想是在H的最低能量子空间中训练一个幺正制备态。子空间VQE称为加权子空间VQE和非加权子空间VQE。对于加权子空间VQE，考虑权值为的损失函数和易于制备的相互正交态。通过使损失函数最小化，可以将最低本征态的子空间近似为。因为权值是递减的，所以每个状态对应于能量递增的哈密顿量的一个本征态。另一方面，非加权子空间VQE利用损失函数再次给出了最低本征态子空间。当每个状态是本征态的叠加时，为了使每个状态旋转到一个本征态，需要进一步优化第二损失。

多态简约VQE（multistate contracted VQE）。Multistate contracted VQE可以看作是子空间展开与子空间VQE之间的中点。它首先通过优化得到与非加权子空间VQE相同的最低能量子空间。而不是优化一个额外的酉值，Multistate contracted VQE将每个本征态近似为，其系数是通过求解一个近似于S = I的子空间展开的广义特征值问题得到的。

绝热辅助VQE（adiabatically assisted VQE）。量子绝热优化是通过将一个简单问题的基态缓慢地转化为一个复杂问题的基态来寻求一个优化问题的解决方案。这些方法与经典同伦方案（classical homotopy schemes）有着密切的联系，用于求解最优化中的经典问题。根据这种联系，绝热辅助VQE使用损失函数，其中。这里是需要关注的问题哈密顿量，是一个简单的哈密顿量，其已知基态被设为初始态。在参数优化过程中，s从0更改为1。哈密顿量变换的思想已被用作一种ansatz，以获得更具有挑战性的端点附近的解。

加速VQE（accelerated VQE.）。虽然量子相位估计(Quantum Phase Estimation, QPE)在容错时代提供了一种估计本征能量的方法，但在短期内是无法实现的。然而，该算法的一个好的特点是，可以通过一系列以为标度的测量来获得精度ε。这与VQE相反，VQE需要来获得相同的精度。这激发了加速VQE算法，该算法在VQE和QPE算法之间进行插值,使用称为α-QPE的可调版本替换度量过程,允许测量损失内插在VQE和QPE之间。

VQE是一系列技术，在计算化学等领域提供了执行计算的可能性。为了达到通常要求的精度水平，必须对每个试验电路进行重复的输出测量。所需的大量重复看起来像是一个严重的瓶颈，可能会使运行时间超出可用性。虽然这个问题首先出现在VQE中，但它有可能影响其他变分算法，因为我们更好地理解了它们对准确性的需求。

在现实研究中，Zapata、Cambridge Quantum、Phasecraft、QC Ware、Rahko、QunaSys和其他初创公司都利用学术人才推动创新，提供了VQE的变体和改进。

初创公司Zapata完成了一系列短链碳氢化合物(从甲烷到丙炔)的运行时间估算工作。对于传统的VQE方法，他们估计每次所需的优化迭代的运行时间为2到71天，需要多次迭代，而且对于其他感兴趣的分子，时间可能要长得多。为缩小这一差距，引入了鲁棒振幅估计技术，帮助我们在有噪声的量子处理器上使用这种技术；开发了一种“经典增强”VQE的技术，允许用传统的近似方法计算一些轨道，而只有那些具有强量子相关性的轨道才在量子处理器上处理。

VQE可以用于探究分子结构，用于计算感兴趣分子的基态（或激发态）能量。Cambridge Quantum和罗氏公司将密度矩阵嵌入理论的传统计算化学技术与VQE相结合，以检测蛋白质-配体结合能。在此类演示中，计算是在IBM和Honeywell处理器上进行的。

荷兰初创公司Qu&Co与经典计算化学软件专家Schrödinger公司合作。他们的工作得益于对量子计算潜力以及当前经典方法优缺点的深刻理解。他们的工作质疑NISQ时代的VQE实现是否有希望达到化学精度(通常被视为1 kcal/mol或1.6mH)。一个普遍的观察是，迄今为止，许多量子演示混淆了准确性和精确性：他们已经计算出精确的结果，但模拟的轨道太少，无法达到真正的准确性。

3.2 动态量子模拟（dynamical quantum simulation）

除了静态本征态问题外，变分量子算法还可以用来模拟量子系统的动态演化。传统的量子哈密顿模拟算法，如Trotter-Suzuki乘积公式，通常将时间离散为小的时间步长，用量子电路模拟每次时间演化。因此，电路深度一般随系统大小和模拟时间呈多项式增长。考虑到NISQ设备固有的噪声，这种深度量子电路累积的硬件误差可能会令人望而却步。而用于含时量子模拟的变分量子算法只使用了一个浅层电路，显著降低了硬件噪声的影响。

迭代方法（Iterativeapproach）。不直接采用薛定谔方程所描述的幺正演化，迭代变分算法考虑试验状态，并将状态的演化映射到参数θ的演化。通过迭代更新参数，量子态得到了有效的更新和演化。具体地说，利用变分原理，例如McLach-lan原理求解最小，得到时参数的线性方程。通过改进的哈达玛（Hadamard）测试电路，可以有效地测量M和V的每一个元素。通过求解线性方程，可以用一个小的时间步长∆t迭代更新从θ到的参数。类似的变分算法可用于模拟Wick-rotated薛定谔虚时演化方程和具有非厄米哈密顿量的一般一阶微分方程。

子空间方法（Subspaceapproach）。加权子空间VQE为在低能量本征态子空间中模拟动力学提供了另一种方法。使用加权子空间VQE幺正算子，它将计算基态映射到低能量本征态，即，是一个未知的相位。考虑到低能子空间，时间演化算子可近似为，其中，实现步骤如下所示：（1）用将状态旋转到计算基;(2)用T(T)演化状态，(3)用旋转基。因此，对于任意状态，即低能量特征态的叠加，其时间演化可模拟为。由于时间演化直接通过T(t)来实现，因此不涉及迭代参数更新，且电路深度与模拟时间无关

3.3 优化

到目前为止，我们已经讨论了将变分量子算法用于本质上固有的量子任务，即寻找基态和模拟量子态的演化。在这里，我们讨论一种不同的可能性，其采用VQA来解决经典的优化问题。

用于量子增强优化的最著名的变分量子算法是量子近似优化算法(QAOA)，最初引入是为了近似解决组合问题，如约束满足(SAT)和最大割问题。QAOA的目标是制备一个量子态，并在测量时以高概率获得一个使目标函数值最大化的二进制字符串。组合优化问题定义为，其任务是使给定的经典目标函数L(s)最大化。

图6 量子近似优化算法(QAOA)。（a）在ansatz中的绝热转变的示意图。对于每个t∈[0,1]，当最终态接近基态时，算法仅松散地遵循基态的演化。（b）最大切割任务的哈密顿量问题与图。图中的每个节点(圆)代表一个自旋。连接两个节点的顶点表示中的相互作用，表示自旋k上的泡利z算子，解被编码在基态中，其中绿色表示自旋向上，向下(蓝色)。

QAOA通过将每个经典变量提升为泡利自旋1/2算子，在量子哈密顿量中编码L(s)，从而制备出的基态。在量子绝热算法的启发下，QAOA用问题哈密顿量与适当选择的混合器哈密顿量之间的p轮交替时间传播代替绝热演化，见图4。正如在第二部分的ansatz中所讨论的，演化时间间隔被当作变分参数并被优化经典。因此，定义，损失函数为:

QAOA的工作流程[5]：

第 1 步：制备线路的初始状态；

第 2 步：初始化待优化的参数β和γ，主要是用来确定RZ门和RX门的旋转角度（通常参数初始化为0)；

第 3 步：根据参数生成量子线路；

第 4 步：测量量子态计算每一个子项的期望；

第 5 步：计算当前参数对应的总的期望值；

第 6 步：将当前参数及其对应的期望值传入到经典优化器进行优化得到一组新的参数；

第 7 步：重复执行 3-6 步，一直到满足预先设定好的结束条件。

量子近似优化算法(QAOA)是最有前途的量子-经典混合算法之一，可以用于解决组合优化问题、最大分割问题等难题。然而，近期量子设备中量子门的高错误率和有限保真度是成功执行QAOA算法的主要障碍。

在橡树岭国家实验室量子计算用户计划(QCUP)的支持下，阿贡国家实验室研究院Ruslan Shaydulin和芝加哥大学研究助理教授、量子算法公司Menten AI首席科学家Alexey Galda合作，利用经典目标函数中存在的对称性减少了QAOA演化中的错误。具体来说，QAOA状态被投影到对称性受限的子空间中，投影在电路的末端或整个演化过程中执行。他们使用IBM量子处理器中的5个量子比特验证了这一方法。当利用全局比特翻转对称性时，量子态保真度平均提高了23%——这是迄今为止对量子问题最成功的改进之一。论文已经在2021年IEEE量子计算与工程国际会议上发表[6]。

Wei-Feng Zhuang等人（2021）提出了一种新的基于图分解的经典算法，该算法在除完全图外的大多数优化问题中，运行时间与浅QAOA电路的量子比特数成线性比例。与最先进的方法相比，最大割、GraphColor和Sherrington-Kirkpatrick模型问题的数值试验表明性能提高了几个数量级。该算法和相关软件Qcover与NISQ处理器配合使用，可以加速应用级量子优势的展示[7]。

3.4 数学应用

已经提出了几种变分量子算法来处理相关的数学问题，例如求解线性方程组或整数分解。因为在许多情况下存在针对这些任务的容错时代的量子算法，VQA的目标是在保持算法要求与NISQ时代兼容的同时，具有启发式的规模，可与这些非短期算法的可证明规模相媲美。

线性系统。线性方程组的求解在科学和工程中有着广泛的应用。量子计算机为这项任务提供了指数级加速的可能性。具体来说，对于N × N线性系统Ax = b，我们考虑量子线性系统问题(QLSP)，其中的任务是准备一个归一化状态，使，其中也是归一化状态。该任务的经典算法复杂度在维数N上呈多项式级扩展，而现在著名的HHL量子算法的复杂度在N上呈对数级扩展，提出了一些扩展改进。然而，由于对电路深度的巨大要求，这些开创性的量子算法在短期内将很难实现。

因子分解。虽然Shor的因子分解算法是众所周知的，但离其大规模实施的时间还很长。因此，引入变分量子算法作为潜在的近期替代方案。这个建议依赖于这样一个事实，即因式分解可以表述为优化问题，特别是一个经典伊辛模型的基态问题，利用QAOA对基态进行变分搜索，他们的数字试探法表明ansatz (p ∈ O(n))中的线性层数导致与基态有很大的重叠。

主成分分析。数据科学中的一个重要概念是用主成分分析(PCA)降维。这包括对角化数据集的协方差矩阵，并选择具有最大特征值的特征向量作为数据的关键特征。因为协方差矩阵是半正定的，所以可以将其存储在密度矩阵中，即量子态中，然后任何量子态的对角化方法都可以用于PCA，提出了一种用于PCA的量子算法。然而，量子相位估计和密度矩阵求幂是该算法中的子程序，这使得它在NISQ时代不可实现。为了使这种应用更接近现实，提出了一种变分量子状态对角化算法，损失函数量化了之间的希尔伯特-施密特距离，其中Z是去相通道。

3.5 编译

NISQ设备可以加速的一个任务是编译量子程序。在量子编译中，目标是将给定的酉V变换为具有最佳短路深度的原生门序列U(θ)。当误差随着电路深度的增加而增加时，量子编译在错误缓解方面起着重要作用。量子编译对于经典计算机来说是一个极具挑战性的问题。由于经典模拟量子动力学的指数复杂度，引入了几个变分量子算法，可以用来加速这个任务。这些算法可以被归类为完全幺正矩阵编译(FUMC)或固定输入状态编译(FISC)，分别在所有的输入状态或特定的输入状态上编译目标幺正V。对于FISC，采用与纠缠保真度密切相关的损失函数来量化V和U(θ)之间的距离。对于FUMC，采用了另一种方法来量化损失，使用平均门保真度，平均许多输入和输出状态。值得注意的是，FUMC和FISC都表现出对硬件噪声的弹性，因为损失全局最小值是不受各种类型的噪声影响的，这种噪声恢复特性对于使用变分量子编译来减少错误是至关重要的。

3.6 纠错

量子纠错(QEC)保护量子比特免受硬件噪声的影响。由于QEC方案的大量子比特需求，它们的实现超出了NISQ设备的能力。尽管如此，QEC仍然可以通过在一定程度上降低误差并将其与其他误差缓解方法结合来使NISQ硬件受益。具体而言，用于实现QEC码的传统通用方法通常涉及不必要的长电路，该电路没有考虑硬件结构或噪声类型。因此，引入变分量子算法来解决这些问题，以自动发现或编译用于任何量子硬件和任何噪声的小量子纠错码。

变分量子纠错器(Variational Quantum Error Corrector, QVEC-TOR)最初被提出是为了发现量子存储器的设备定制量子纠错码。对于任意k-量子比特输入态，由作用于参考态的酉制备，QVEC-TOR考虑两个参数化电路(n≥k量子比特)和(n + r量子比特)，分别将输入的逻辑状态编码为n个量子比特和n - k个辅助量子比特，并实现r个辅助量子比特的恢复运算。通过依次对输入态进行编码、恢复和解码，获得输出，将n - k个辅助量子比特投影回并丢弃最后的r辅助量子比特，在输入状态的ψ上发现一个量子通道。QVEC-TOR的目标是使在输出ρ和输入ψ之间的保真度最大化。解决方案将使量子电路最大限度地保护输入状态。数值模拟表明，QVEC-TOR能够找到性能优于现有量子编码的量子码。

3.7 机器学习和数据科学

量子机器学习(QML)通常指的是学习模式的任务，目标是对未知和看不见的数据做出准确的预测。具体来说是学习一个参数化量子电路来解决一个给定的任务，VQA和(典型的)QML应用之间的这种联系表明，在一个领域学到的经验可以在另一个领域大有用处，因此提供了这两个领域之间的密切联系。

分类器。数据分类是机器学习中普遍存在的任务。给定形式为{x(i)，y(i)}的训练数据，其中x(i)是输入，y(i)是标签，目标是训练一个分类器来准确预测每个输入的标签。由于经典神经网络成功的一个关键方面是它们的非线性，可以预期这种性质也会出现在量子分类器中。参数化量子电路可以支持线性变换，量子的张量积结构可以利用非线性。更准确地说,定义一个依赖酉V(x)的输入数据,然后张量积或乘法生成输入数据x的非线性函数。从这个意义上讲,酉V(x)可以用作量子非线性特性映射,可以利用希尔伯特空间的特征空间；将输入数据x嵌入到量子态中之后，利用参数化量子电路进行线性变换；损失函数定义为真实值与可测可观测A的期望值之间的误差。这种方法已被用于泛化和分类任务以及变分分类的实验演示。Edwin Stoudenmire 和David J Schwab（2016）研究发现量子力学的张量网络结构甚至启发了经典的机器学习方法。

自动编码器。用于数据压缩的自动编码器是机器学习的重要基础。这里的想法是使信息通过瓶颈，同时仍然保持数据的可恢复性。作为量子模拟，引入了一种用于量子自编码的变分量子算法，其目标是压缩量子数据。算法的输入是在AB两部分构成的系统上的纯量子态。目标是训练一ansatz U(θ)，将该系统压缩到A子系统中,这样可以以高保真度从子系统A恢复每个状态，丢弃被认为是“垃圾”的B子系统。鉴于数据压缩与解耦之间的密切联系，损失函数是基于B上的输出状态与固定纯状态之间的重叠。M. Cerezo等人（2020）提出该损失函数的一个局部版本，可以很好地训练大规模问题。Alex Pepper等人（2019）在量子硬件上实验实现了量子自编码器，并且很可能是量子机器学习中的一个重要基础。

生成模型。为QML实现训练参数化量子电路的思想也可以应用于生成模型，这是一个无监督的统计学习任务，目标是学习生成给定数据集的概率分布。设是一个从概率分布q(x)中采样的数据集。q(x)是参数化概率分布，由应用到输入态和测量计算基而得，对应于量子电路玻恩机。原则上，人们希望将两种分布之间的差异最小化。然而，由于q(x)不可用，损失函数由负对数似然定义。Brian Coyle等人（2020）研究表明量子电路Born机可以模拟受限玻尔兹曼机，并执行经典计算机难以执行的采样任务。

量子神经网络架构。几种量子神经网络架构已经被提出，可以用于前面提到的一些任务。在基于感知器的量子神经网络体系结构中，神经网络中的每个节点代表一个量子比特，它们的连接由作用于输入状态的参数化酉给出。Iris Cong等人（2019）和Lukas Franken等人（2020）将量子卷积神经网络(Quantum Convolutional Neural Networks, QCNN)用于误差校正、图像识别，以及区分属于不同拓扑相位的量子态。

3.8 新领域

在本节中，我们将讨论VQA框架的一个令人兴奋的应用，该应用利用了变分量子算法处理量子力学系统的事实。也就是说，许多变分量子算法被提出来理解和开发量子态的数学和物理结构，以及广义的量子理论。

量子基础。NISQ计算机将可能在理解量子力学的基础方面发挥重要作用。从某种意义上说，这些设备提供了实验平台来测试从量子引力到量子达尔文主义的基础理论。例如，由于NISQ计算机规模的增加，量子系统中经典性的出现将很快成为一个计算上易处理的研究领域。沿着这些路线，A. Arrasmith等人（2019）提出了变分一致性历史(Variational Consistent Histories)算法。一致性历史是量子力学的一种正式方法，已经被证明在研究量子到经典的转变以及量子宇宙学中是有用的；然而，它需要计算所有历史记录对之间的退相干函数。由于历史的数量在系统规模和动态次数方面都呈指数增长，经典的数值方法对于这种形式是难以处理的。VCH算法旨在将退相干函数存储在量子密度矩阵中，然后使用量子设备来有效地计算损失函数。

量子信息理论。由于NISQ计算机，另一个很可能重新引起兴趣的领域是量子信息论或量子香农理论。例如，量子自动编码算法有可能被用来学习编码和量子信道传输的可达到的速率。另一个研究领域是使用NISQ计算机来计算量子信息理论中的关键量，如冯·诺依曼熵。虽然众所周知这些问题对一般量子态来说很难解决，M. Cerezo等人（2020）引入了VQA来估计任意态σ和低秩态ρ之间的量子保真度。而且，GuillaumeVerdon等人（2019）引入VQA来学习模块化哈密顿量，它提供了量子态的冯·诺依曼熵的一个上界。

纠缠光谱学。描述纠缠对于理解凝聚态系统是至关重要的，纠缠谱已被证明在研究拓扑顺序方面是有用的，已经引入了几种变分量子算法来提取量子态的纠缠谱。由于纠缠谱可以看作是简化密度矩阵的主要成分，因此PCA算法可以用于这一目的。此外，还可以采用量子奇异值分解的变分算法，使用这些算法来描述VQE制备的基态中的纠缠(例如，拓扑顺序)，不同的变分量子算法可以以互补的方式一起使用。

量子计量学。量子计量是一个研究领域，在这个领域中，人们寻求最佳设置，以最小的散粒噪声寻找感兴趣的参数。被探测的参数通常是磁场，在探测过程中没有噪声的情况下，给出了最佳探测状态的解析解；然而，当一般的物理噪声存在时，分析论证是困难的，变分量子计量学以变分方式搜索最佳探针状态。

04

挑战和可能的解决方案

尽管VQA领域取得了巨大的发展，但仍有许多挑战需要解决。理解VQA的局限性对于开发策略是至关重要的，这些策略可以用来构造更好的性能有保证的算法，甚至可以用来制造更好的量子硬件。在本节中，我们将回顾VQA的一些已知挑战，以及如何应对这些挑战，即损失函数的可训练性、损失估算的效率和准确性。

4.1 可训练性

损失函数中的贫瘠高原（Barren Plateau, BP）现象最近作为VQA的主要瓶颈之一受到了相当的关注。当一个给定的损失函数C(θ)表现出一个BP时，它的偏导数的大小将平均地随系统大小指数地消失，如下图所示。因此，在BP中，需要一个指数级的精度来解决有限的采样噪声，并确定损失最小的方向，指数级的精度破坏了利用VQA实现量子优势的希望，因为它的计算复杂度将不会比经典算法更好。

图 7 贫瘠高原(BP)现象。a)损失函数偏导数相对于量子比特数量的方差。结果是从一个具有深度非结构化ansatz的VQE实现中获得的，y轴是对数刻度，随着量子比特数量的增加，方差随系统大小呈指数规律消失。b)全局损失函数的景观的可视化，其展示了用于量子编译实现的BP，橙色(蓝色)景观是针对n = 24 (n = 4)个量子比特获得的。随着量子比特数量的增加，景观变得更加平坦。此外，该损失还表现出窄谷现象，其中导致小损失值的参数的数量随着n指数地减少。

当随机初始化时，深度非结构化参数化量子电路呈现BP。这个结果的证明依赖于这样一个事实，即当ansatz的深度随着量子比特数n多项式增长时，非结构化的ansatz变成了2-design。人们可以把这种现象看作是一种跨越，因为ansatz是问题不可知的，需要探索一个指数级的大空间来寻找解决方案。因此，随机初始化ansatz时找到解的概率指数级的小。

BP现象依赖于损失函数：当比较存在于指数级大的希尔伯特空间中的算子或状态时，全局损失函数表现出BP，而当比较单量子比特水平上的对象时，局部损失函数表现出梯度，只要电路深度至多是n中的对数，该梯度在n中多项式地消失。

当训练随机初始化的基于感知器的量子神经网络时，BP现象产生于大量纠缠，纠缠是由可见和隐藏层中的连接大量量子比特的感知机所产生的。当追踪隐藏层中的量子比特时，可见量子比特的状态指数地接近最大混合状态。显然，从这样一个状态提取信息是困难的。

有两种主要的方法可以避免或减轻BP的影响：

1）参数初始化。在优化开始时，选择合适的参数；

2）ansatz的选择。使用结构化的ansatz，在优化过程中限制ansatz探索的空间。

4.2 效率

为了实现量子优势，变分量子算法必须满足的另一个需求是具有估计损失函数期望值的有效方法。BP的存在可以指数级地增加VQA优化部分所需的精度要求，但即使在没有BP的情况下，这些期望值的估计也不能保证是有效的。事实上，对资源需求的早期估计表明，有趣的量子化学VQE问题所需的测量数量将是天文数字，这使得解决这个问题对于量子优势至关重要。对于哈密顿量来说，分解成泡利算符，这种分解包含许多项，测量难度也会加大。

有以下方法可以在估计期望时提升效率：

1）交换算子集。为了减少估计算子期望值所需的测量次数，可以将将泡利串集合划分成可交换和测量的子集。这种划分最简单的方法是寻找具有qubit-wise commuting的子集，也就是说每个量子比特交换泡利算子。

2）优化抽样。给每个泡利算子若干个与成比例的测量机会，其中是方差。

目前，初创公司Zapata开发了一个开源工具orqviz，通过帮助可视化优化场景来帮助解决优化挑战。

4.3 准确性

变分量子算法的主要目标之一是为近期噪声设备提供实际应用。从这个意义上说，VQA提供了一种处理硬件噪声的策略，因为它们可以最小化量子电路的深度。硬件噪声会对VQA的准确性产生多方面的影响：硬件噪音可能减缓训练过程，使有噪声的全局最优不再对应于无噪声的全局最优，进而影响最终的最优损失值。

量子错误缓解(QEM)通常通过经典的测量结果后处理来减小观测值期望值的物理错误，例如外推法。

图8 用零噪声外推(ZNE)技术研究布洛赫球中的量子比特轨迹。有噪声的量子计算机的精确度可以用ZNE误差减轻方法来提高。a)这里，人们用不同的噪声水平重复给定的计算。绿色曲线对应于布洛赫球体中的旋转，该旋转具有比红色曲线的旋转更高的噪声水平。b)从红色和绿色曲线中获取数据，ZNE可用于估计在没有噪声的情况下的蓝色轨迹。

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总结

在追求量子优势的过程中，变分量子算法(VQA)的分析将变得越来越重要。本文首先详细介绍了VQA的原理以及实现步骤，VQA在量子计算机上运行参数化量子电路，然后将参数优化外包给经典优化器。然后介绍了变分量子算法8个方面的应用，例如寻找基态和激发态、含时量子模拟以及优化等，表明了变分量子算法领域成为了一个蓬勃发展和快速发展的领域。

量子计算机的真正承诺，即实际应用的加速，通常被称为量子优势，尚未实现。此外，容错量子计算机的出现似乎还需要很多年，甚至几十年的时间。因此，关键的技术问题是如何最好地利用今天的NISQ设备来实现量子优势。为了构造更好的算法以及量子硬件，本文回顾了VQA的一些已知挑战，即损失函数的可训练性、损失估算的效率和准确性，以及如何应对这些挑战。

参考文献：

[1] M. Cerezo,et al.Variational Quantum Algorithms.arXiv:2012.09265

[2] Bittel L,Kliesch M.Training variational quantum algorithms is NP-hard -- even for logarithmically many qubits and free fermionic systems[J].2021.

[3]

[4]

[5] 郭国平，陈昭昀，郭光灿.量子计算编程与入门[M]科学出版社，2020.

[6]

[7] Efficient Classical Computation of Quantum Mean Values for Shallow QAOA Circuits，arXiv: 2112.11151