加法有逆运算吗？

加减乘除是数学的入门计算，每一个人都非常熟悉。通常是，先学加法再学减法，先学乘法再学除法。学习减法、除法时候，大部分老师会提醒一下，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。即便老师不提醒，这种互逆关系，学生自己也会隐隐约约感觉到（老师按逆运算教导的）。

学完四则运算，就会学习分数，负数。等学会了分数和负数，就会发现：加法和减法是同一种运算，除法和乘法是同一种运算。

有了负数和分数，加减法合并了，乘除法合并了。有了这些合并，加法的逆运算没了，乘法的逆运算也没了。对于这些逆运算的消失无踪，大多数人并不在意。毕竟，除了帮助学习减法、除法之外，逆运算好像并没有多大的用处。而且，逆运算的退场还带来了一个运算合并的好处。

运算合并在数学上的好处并不明显。不过在工程上，运算合并却有着重大影响。

在计算机的运算电路中，只用加法运算器，（乘除法可以用加减法替换）就可以实现四则运算。运算合并带来的方便，为计算机的迅速普及立下了汗马功劳。

既然，四则运算都可以统一成加法。那么，加法还存在逆运算吗？

回答这个问题，需要仔细分析一下逆运算。

真正的逆运算（有思维基础、有物理基础）

加法运算的算式是这样的：被加数+加数=和。这个算式中，和是被加数、加数两个数的运算结果。

加法算式表达了这样一种思想：两个数通过运算可以得到一个数。如果把这个思想倒过来，再表达为算式，就是加法的逆运算了。

加法运算思想的逆，可以表达为：一个数通过运算可以得到两个数。根据加法运算思想的逆，可以写出逆加法的算式：和=被加数+加数。

通过逆加法的算式进行计算，一个“和”可以求出无穷多个被加数、加数的组合。逆加法的运算结果有无穷多个，乍一看，很不合理，好像没有什么具体用途。

然而，事实上，结果有无穷多个的运算，如今在广泛使用。不定积分的运行结果就是无穷多个，不定积分却是科学计算的标配。

不定积分有一个特点，只要常数C给定，就变成了定积分。这个特点同样符合逆加法。逆加法的运算结果虽然有无穷多个，但只要给一个数，另一个也就确定下来了。套用不定积分变定积分的过程，逆加法的这个特点可以表述为：只要再给定一个数，逆加法就变成减法了。

结合不定积分、定积分和逆加法、减法。逆运算的特点就可以确定下来了。

逆运算的结果由两部分组成。逆运算的结果有无穷多个，不确定。逆运算的结果可以确定，但前提是多加一个确定值。

逆运算的这些特点，与量子的不确定性很相似。你不观察时（不给一个定量）我是波（无穷多），你一观察时（给了一个定量）我就是粒子（只有一个）。如此看来，逆运算，不但有思维基础，而且还有物理基础。

逆运算既有思维基础，又有物理基础，在现实生活中肯定会被使用到。事实上也是如此。减法和除法我们就经常使用。

减法、除法虽然经常用，但这些只是逆运算的冰山一角，只是体现了逆运算的一点点的特色。把逆运算的特色体现得更充分的应用场景是函数。

逆运算与函数

函数的表达式是：y=f（x)。其中，x称为自变量、y称为因变量、f称为对应法则。把函数的这些要素纳入逆运算的框架，就有：

逆运算：f运算结果：x，y（有无穷多个组合，不确定）。给定一个x，就有有一个确定的y（确定）。

经过上述分析，就会发现：相比减法、除法，函数对逆运算的表达更有代表性。

函数的历史变迁

最初，伽利略用文字和比例的语言，表达了变量关系这一概念。现在，人们普遍认为，伽利略提到的变量关系，就是函数的雏形。后来，笛卡尔把变量关系和坐标系联系到了一起，用来描述曲线。之后，很长一段时间，人们把函数当作曲线来研究。集合论成了现代数学的基础后。数学家们用集合论的概念重新定义了函数。y=f（x)这个形式就是在集合论的基础上构建的。

不过，物理学家可管那么多，大刀阔斧地就把一些物理概念运用到了函数上、从牛顿把“流量”引入到函数开始，各种各样的物理概念逐步被纳入到函数中。伴随着这些物理概念的加入，函数逐步有了一些预测的功能。这些预测不再是演算纸上单纯的数字，而是对应了现实世界中的真实存在。

作为逆运算的代表，函数能够进行预测，这倒是应了易经中的一句话：“数往者顺，知来着逆”。

知来着逆

先来回顾一下逆运算的特点。

逆运算的结果由两部分组成。逆运算的结果有无穷多个，不确定。逆运算的结果可以确定，但前提是多加一个确定值。

对未来的期盼是人的天性。预知未来，大概是人类最大的愿望了，迄今不改。然而，逆运算的第二条表明，未来不确定。于是，就有人在逆运算的第三条上动起了脑筋。

既然，逆运算的第三条表明，给定一个确定值，未来就可以确定下来。那么，就先给一个确定值好了。形形色色的占卜就这样发展了起来。

撇开第二条不顾，只用第三条。结果靠不靠谱，大家都心知肚明。不过，给一点确定的信息，多少也是个安慰。