前言:
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问题描述
给出一个完全二叉树,求出该树的节点个数。
说明:
完全二叉树的定义如下:在完全二叉树中,除了最底层节点可能没填满外,其余每层节点数都达到最大值,并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层,则该层包含 1~ 2^h 个节点。
示例:
输入: 1 / \ 2 3 / \ /4 5 6输出: 6
1,DFS解决
这题是让求完全二叉树的节点个数,最简单的一种方式就是使用DFS,也就是递归解决。如果当前节点为空,直接返回0即可,否则就返回左子节点的个数+右子节点的个数+1。原理比较简单,直接一行代码搞定
public void levelOrder(TreeNode tree) { if (tree == null) return; Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.add(tree); while (!queue.isEmpty()) { //poll方法相当于移除队列头部的元素 TreeNode node = queue.poll(); System.out.println(node.val); //如果左子节点不为空就把他加入到队列中 if (node.left != null) queue.add(node.left); //如果右子节点不为空也把他加入到队列中 if (node.right != null) queue.add(node.right); }}
2,BFS解决
之前讲过二叉树的几种遍历方式373,数据结构-6,树,有前序遍历,中序遍历,后序遍历,BFS,DFS,每种写法都包含递归和非递归,我们只需要把所有的节点都遍历一遍就可以统计出来了,如果每个都写一遍,有点多了,这里就使用BFS来写一个,二叉树的BFS代码如下。
public void levelOrder(TreeNode tree) { if (tree == null) return; Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.add(tree); while (!queue.isEmpty()) { //poll方法相当于移除队列头部的元素 TreeNode node = queue.poll(); System.out.println(node.val); //如果左子节点不为空就把他加入到队列中 if (node.left != null) queue.add(node.left); //如果右子节点不为空也把他加入到队列中 if (node.right != null) queue.add(node.right); }}
我们来对它进行改造一下,统计节点的个数
public int countNodes(TreeNode root) { if (root == null) return 0; int count = 0; Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.add(root); while (!queue.isEmpty()) { //poll方法相当于移除队列头部的元素 TreeNode node = queue.poll(); count++;//统计节点的个数 if (node.left != null) queue.add(node.left); if (node.right != null) queue.add(node.right); } return count;}
3,从左子树找树的高度
题中对完全二叉树的描述已经很清晰了,如果我们还是用上面的两种方式一个个遍历的话,效果明显不是很好,可以考虑下面这种方式
先计算树的高度height,然后计算右子树的高度
1,如果右子树的高度等于height-1,说明左子树是满二叉树(如下图所示),可以通过公式(2^(height-1))-1计算即可,不需要全部遍历,然后再通过递归的方式计算右子树……,
2,如果右子树的高度不等于height-1,说明右子树是满二叉树(如下图所示),只不过比上面那种少了一层,也就是height-2,也可以通过公式(2^(height-2))-1计算,然后再通过递归的方式计算左子树……,
搞懂了上面的原理,代码就简单多了
public int countNodes(TreeNode root) { //计算树的高度, int height = treeHeight(root); //如果树是空的,或者高度是1,直接返回 if (height == 0 || height == 1) return height; //如果右子树的高度是树的高度减1,说明左子树是满二叉树, //左子树可以通过公式计算,只需要递归右子树就行了 if (treeHeight(root.right) == height - 1) { //注意这里的计算,左子树的数量是实际上是(1 << (height - 1))-1, //不要把根节点给忘了,在加上1就是(1 << (height - 1)) return (1 << (height - 1)) + countNodes(root.right); } else { //如果右子树的高度不是树的高度减1,说明右子树是满二叉树,可以通过 //公式计算右子树,只需要递归左子树就行了 return (1 << (height - 2)) + countNodes(root.left); }}//计算树的高度private int treeHeight(TreeNode root) { return root == null ? 0 : 1 + treeHeight(root.left);}
或者我们还可以把它改为非递归的
public int countNodes(TreeNode root) { int count = 0, height = treeHeight(root); while (root != null) { //如果右子树的高度是树的高度减1,那么左子树就是满二叉树 if (treeHeight(root.right) == height - 1) {//左子树是满二叉树 count += 1 << height - 1; root = root.right; } else {//右子树是满二叉树 count += 1 << height - 2; root = root.left; } height--; } return count;}//计算树的高度private int treeHeight(TreeNode root) { return root == null ? 0 : 1 + treeHeight(root.left);
4,从右子树找树的高度
上面是先计算二叉树的高度,它是从左子节点一直往下走,找到树的高度。还可以换种思路从树的右子节点往下走,找到树的高度,原理都差不多,代码中有详细注释,就不在过多介绍
public int countNodes(TreeNode root) { if (root == null) return 0; //计算高度,注意这里不是树的实际高度 int height = treeHeight(root); if (treeHeight(root.left) == height) {//左子树是满二叉树,通过公式计算 return (1 << height) + countNodes(root.right); } else {//右子树是满二叉树,通过公式计算 return (1 << height - 1) + countNodes(root.left); }}//计算树的高度,注意这个结果不是树的实际高度,如果树是满二叉树,他就是树的//高度,如果不是满二叉树,他就是树的高度减1private int treeHeight(TreeNode root) { return root == null ? 0 : 1 + treeHeight(root.right);//注意这里遍历的是树的右结点
5,总结
二叉树的遍历方式除了之前讲373,数据结构-6,树中的前序,中序,后续,以及BFS以外,还有莫里斯的前中后3种遍历方式。这些遍历方式有的还包含递归以及非递归等多种写法,如果都写一遍的话答案就非常多了。但这里说的是完全二叉树,我们可以根据完全二叉树的特性来计算,没必要把所有的节点都要遍历一遍。
二叉树常见的几种遍历方式(包括前序,中序,后序,DFS,BFS)在第373题都有过介绍,并且都有递归和非递归等多种实现方式。关于二叉树的莫里斯(Morris)的3种遍历方式后面有时间也会做介绍,期待大家一块学习。
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