这两个次幂比较大小竟然自然常数e有关系！为什么到处都有自然常数e的身影？

自然常数e是一个充满着神奇特性的数，比π神奇多了，它也时常让学生感到非常困惑。关于自然常数e，我已经写了多篇文章，《自然常数e为什么如此神奇，总是出现它的身影！因为世界是乘法的》、《高中生：为什么要关注自然常数e？》、《自然常数“e”到底是怎么来的？》、《神奇的自然常数e:海王海后选择最幸福的结婚对象的策略》有兴趣的朋友可以移步去看看，闲言少叙，接下来进入我们这篇文章的主题。

首先，我们尝试着比较100^99和99^100这两个数的大小，常规的想法就是把这两个数做商比较，根据商是否大于1进行判断，我们先顺着这个思路探索一下，这个思路其实很简单，要么换成同底，要么换成同指数，前面几步很好理解。但是，到了最后一步，我们似乎陷入了困境，(1+1/99)^99和99这两个数哪个大？

(1+1/99)^99这个想试着算几项找规律也会显得困难重重。到了这一步高中生也会陷入困境，到了大学，看到(1+1/99)^99这个可能会有种熟悉感，因为这个形式和这个极限很像

而这个极限就是自然常数e。所以，由此观之，(1+1/99)^99这个值比e小，所以，一定比99小，所以，100^99<99^100。但是，我并不打算到这边结束，我们换个角度来看这个问题，用一个小学生会使用的方式——找规律，实际上就是用归纳推理的思维方式来探索，从简单的问题开始，或者是从特殊情形开始。100^99和99^100有什么特点呢？底数和指数的乘积是个定值，即99×100=9900。顺着这个特点，我们看一些简单的示例。

比如，2^3=8<3^2=9,

3^4=81>4^3=64,

5^4=625<4^5=1024。

从上面几个简单案例中，我们似乎可以发现一个规律，3的次幂似乎最大，为了进一步验证我们这个猜想，我们选取一个稍大的数，比如，我们用24这个数。

通过这个案例，我们更加确定拆成3的次幂可以达到最大值，然后，随着底数越来越大，值越来越小。所以，当我们把9900这个数拆成3^3300时最大，然后，随着底数越来越大，值越来越小，所以100^99<99^100。

到目前为止，这道题的思路小学生也是可以理解的，本质上变成了小学喜欢考的找规律的题。但是，我们依然不打算就此结束，我们更想知道为什么，为什么底数是3的时候幂最大？这个时候就需要借助函数和导数这两个工具了，我们需要构造一个函数能够表达把一个数拆分之后幂的关系。

我们不妨假设一个数C，这个数被拆分为n个x的和，即C=nx，则问题就转换为，当x拆分成多大的时候，其幂可以达到最大？令f(x)=x^n=x^C/x。函数我们已经构造成功了，接下来的目标就是要求这个函数的最大值，自然而然地想到使用求导数的方式解。

由于，这个函数直接求导比较麻烦，我们不妨对这个函数取对数，则有

ln f(x)=ln x^C/x=C/xln x

对这个函数进行求导：

由此可知，当x=e时，即数C被拆分成n个e的和的时候，其幂e^n最大。这个要到了高中学了导数才能理解。而整数3更接近e，所以，当取整时，3的幂就可以达到最大，这就是我们上面那个规律背后的原因。

很神奇啊，又见到了e的身影，它就像一个幽灵一样无处不在。虽然如此，但是，实际上仅仅是因为我们这个世界需要寻求最优解，即便是没有生命，没有意识的光也会走耗时最短的路径《光竟然如此“聪明”，似乎懂数学，精确地选择了耗时最短的路径！》。

继续深挖下去，我们发现有一个更有趣的现象，e进制竟然是最高效的，由于e是个无理数，我们取整数，可以得出一个结论，三进制效率最高，比我们现在计算机使用的二进制效率更高。这句话怎么理解呢，一种晶体管只有两种状态0和1，即我们现在计算机中使用的，另一种晶体管有三种状态0、1和2，那么，在同等情况下，三进制可以表示更大的数，也就意味着更高的效率。三言两语说的不是很清楚，这个话题，我们留在下一篇文章中细聊。

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