概念：从计算学科到智能计算

魏宁：于教授您好，《普通高中信息技术课程标准（2017年版2020年修订）》以及《义务教育信息科技课程标准（2022年版）》，都将计算思维列为学科核心素养之一。这几年，计算思维无疑成为中小学信息科技课程的重点和热点问题，引起了广泛的关注。

我注意到您去年出版的专著《STEM与计算思维》，对计算思维做了深入的思考，也有不少真知灼见。所以，很高兴能有机会和您聊一聊有关计算思维的话题。

于晓雅：多谢《中国信息技术教育》杂志的邀请，这些年我对计算思维一直保持着持续的关注，作为学科核心素养之一，计算思维确实是一个重要的概念，不但需要老师们准确把握，更需要其在实践中找到适切的培养内容和途径。

魏宁：对于计算思维，首先需要搞清楚它的概念、界定，在这方面您的视角与众不同，因为您是从理解计算开始认识计算思维的，这背后您有怎样的思考？

于晓雅：我认为，要想理解计算思维，我们有必要对计算思维形成的主要领域——计算作一番了解。在这里我向老师们推荐一本书——《伟大的计算原理》，这本书的作者之一Peter J.Denning认为“计算不是其他科学的子集，计算科学是与物质科学、生命科学和社会科学并列的科学研究第四大范畴”，所有计算背后的一个基本问题，就是“什么是可以计算的”，也就是“什么可以有效实现自动化”，在此基础上，Denning开发了计算原理框架，把计算原理分成了七类：计算、通信、协调、记忆、自动化、评估和设计。

在计算领域，在各个国家、不同时期，其名称不断变迁，内涵和外延都逐步发展，到了20世纪90年代，“计算”这一概念开始成为公认的标准术语，计算学科也开始成为一级学科。在这个大背景下，大家就开始思考，作为计算学科应该有怎样独特的思维方式？而这种思维方式就是计算思维。

计算思维是计算学科独特的思维方式，若想确切理解其本质和内涵，可以先把计算思维从计算机科学中暂时剥离出来，从计算学科的思维方式的角度来理解计算思维，从数学、工程、科学甚至艺术学科多个维度的起源和融合去理解计算思维，也就是说，我们可以把计算思维看作人们制订问题解决方案，并将解决方案表示为可以由计算代理有效执行的计算步骤这一算法思维过程。这样，我们对计算思维的理解也会宽广很多。

魏宁：我感觉从计算学科入手，计算思维的概念已经呼之欲出了，这确实是理解计算思维的一条好路径。

现在公认的计算思维概念，是由卡内基•梅隆大学计算机科学系主任周以真教授在2006年提出的，此后十几年得到了快速发展，您如何看待当前计算思维概念的发展？

于晓雅：今天广为熟知的计算思维概念是周以真在2006年提出的，她认为，计算思维是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计、人类行为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。从这个概念可以看出，计算思维不仅仅局限在计算机科学领域，它是广泛存在的，这是周以真的一个重要贡献。今天，计算思维已经和读、写一样，成为一种普适性的思维，是21世纪公民必备的基本思维。

在计算思维概念提出以后，为了在实践中更好地培养计算思维，一些国家相继给出了计算思维的操作性定义。例如，MIT媒体实验室于2012年提出计算思维包括计算概念、计算实践和计算观念，进而又对其进行了具体描述，建立起一个计算思维的三维框架。英国学校计算课程工作小组（CAS）在2015年提出了计算思维方法包括反思、编码、设计、分析、应用。美国计算机教师协会（CSTA）在2016年推出《K-12计算机科学标准》，将计算思维分为九个方面：数据收集、数据分析、数据呈现、问题分解、抽象、算法和步骤、自动化、模拟、并行化。

2023年12月，美国白宫网站发布由计算素养跨机构工作组(IWGCL)编写的《通过STEM教育培养计算素养：联邦机构和利益相关者指南》报告，把计算思维又向前推进了一步，提出了“计算素养”这一概念。我们都知道，思维属于做事的一种过程和方式，但素养就不一样了，它已经提升为每个人必须具备的行动能力了。

报告总结了在STEM教育中培养计算素养的最佳做法，包括在在线学习、多样性、公平、包容和可及性方面将计算素养成功融入STEM教育的案例，以及通过新兴技术实现计算素养的案例。同时，报告还针对解决计算素养培养面临的障碍提出了建议。

我认为，计算思维概念的变化与近年来人工智能，特别是大语言模型的快速发展密切相关。因为未来世界，人工智能就像人类的合伙人，人们的工作将无法脱离人工智能，更可能的方式是人和人工智能共存的一种双主模式。当智能时代来临的时候，每个人都需要具备与人工智能相处的能力，计算素养的重要性无疑就更加凸显。

魏宁：您刚才提到了近年来计算思维概念的演进，我觉得老师们都需要对这一概念保持密切的关注，从某种意义上说，随着技术的快速发展，计算思维将始终保持它的开放性。

说到这两年人工智能，特别是大语言模型的快速发展，也促使人们重新思考计算思维这一概念。我注意到不久前中国工程院孙凝晖院士在全国人大所作的一个报告，题目是《人工智能与智能计算的发展》。他特别提到最近十几年智能计算已经发展到了深度学习计算系统和大模型计算系统，转向了“大模型+生成式”的计算模式。这其实已经与传统意义上的计算思维过程不同了，站在智能计算角度，您如何理解计算思维的发展？

于晓雅：这是一个非常重要的问题，也是我们必须回应的。我的理解是，从广义上讲，智能计算的思维过程也是计算思维的一种，当然，它确实丰富和发展了传统的计算思维。

通俗地说，计算思维就是人把自己想做的事交付给机器，让机器帮我们来做。在这个过程中，我们可以看出来，计算思维既表现为人的思维，同时又离不开我们要交付给的那个工具，或者称为代理。至于机器，无论是自动化的，还是智能的，都是帮我们解决问题的。

传统的计算思维是让机器学习人类的思维，人类通过分析与综合，进而判断、推理，理解世界、解决问题，人类制定规则、算法，并编写程序代码，而机器则严格执行人编写的程序指令并输出“答案”。在这个过程中，我们主要发挥了计算机的三个优势，也是人类无法实现的功能：第一个是计算机的高速运算功能；第二个是计算机的可视化功能；第三个是计算机可以实现一些人类难以工程实现的算法，如递归、分治。

对于智能计算，我们可以理解为让机器自我学习，让机器拥有自己的“思维”，人类通过人工神经网络这样的机器学习算法和大数据的“喂养”，让机器能够自己去判断、推理。如果说传统的计算思维本质上是人的大脑神经系统在思维，那么智能计算则相当于我们赋予机器一个大脑神经系统，让它自己去思维。

我再举一个机器人学习走路的例子，传统的计算思维是让机器人模拟人是怎么走路的，把人走路的各种姿态转化为数据，如先迈哪条腿、后迈哪条腿、身体如何保持平衡等，让机器模仿人走路的姿势去学习走路，相当于我们手把手教机器人走路。大家能想象，这样学走路太困难了，因为实际场景太复杂了，总有我们教不到的地方，没教的地方机器人就不知道该如何处理了。

而智能计算不是让机器人简单地去模仿人走路的姿势，而是我们先告诉它什么是平稳的走路，人平稳走路的姿态是什么样的，然后给出各种走路的场景：平地、爬坡、躲避障碍物和水坑……这相当于我们给了机器不同场景下的“答案”，让机器人去学习人是如何处理这些问题的，自己总结规律，提炼规则和模型，再通过不断试错，不断生成数据，不断学习，最终学会走路。只不过这样一来，得出答案的算法是机器自己学习、总结出来的，我们反而无从知道了。

但是，我并不认为智能计算是一种全新的思维，就像我上面说的，它们本质上都是人把自己想做的事交付给机器，让机器帮我们来做。只不过这个机器、这个代理进步了，它自己学会学习了。但人把自己想做的事情交付给机器来做这个过程没有变，所以它依然属于计算思维的范畴。

魏宁：我觉得您上面的解读还是非常清晰的，有助于老师们理解传统的计算思维和人工智能时代的智能计算之间的差异。

随着这两年大语言模型的火爆，还出现了一种观点，认为人工智能可以自动编写程序代码了，编程是否变得不那么重要了呢？

于晓雅：确实，大语言模型的出现，可以代替我们进行一些编码工作。但这个工作只是帮助我们跨越了编程语言自身的障碍，如程序语法结构的困难，真正的如何用计算思维去理解、构建真实世界的要求反而比以前更高了。至少我们要能理解、沟通真实世界和虚拟世界，如果不具备计算思维和素养，是没有办法做到的。

实践：从思维培养到评价工具

魏宁：下面咱们来聊聊计算思维的实践，也就是如何培养计算思维的问题。很多老师会拿一些生活中做事的过程比拟计算思维，也就是把计算思维看作生活问题的过程性描述，如一个炒菜的过程，也含有明显的步骤、序列，也具有鲜明的计算思维特征。用这样的生活化案例能否培养学生的计算思维呢？

于晓雅：是这样的，很多老师喜欢用做菜等生活过程来比拟计算思维，这样做可以把枯燥的计算借助情境直观呈现给学生，在计算与思维之间架起一座桥梁。并且，它凸显了计算思维中包含统筹思维、逻辑思维的一面，但是，在用自然语言描述时，不能忘记计算思维是生活问题的形式化描述，形式化描述本质上是一个抽象的能力，而不是简单的步骤描述。

同时，用这种情境化的方式来学习计算思维，在特定的阶段和特定的环境中是有着积极意义的。所谓特定的阶段，指的是计算思维学习的早期，如幼儿园阶段，这时学习计算思维，采用不插电或者无屏幕的方式就有很好的效果。我们可以把计算思维的一些要素提炼出来，融入幼儿活动中，像一些分支、循环的思维方式，都可以通过幼儿的身体活动、跳房子等游戏的过程让学生去体验，甚至复杂一些的“七桥问题”，很多孩子在幼儿园也玩过。虽然这个阶段的幼儿可能不涉及编程让机器去执行，但有了这些基础，今后学习编程就会顺畅得多。

还有就是在特定的环境中，因为各个地区条件存在差异，不是所有地方的学生都具备一上来就学习编程的条件，这时候我们可以通过这种生活化的方式，通过不插电、无屏幕的方式让学生理解计算思维。

总的来说，在培养学生计算思维的过程中，可以暂时不涉及如何交付给机器去实现这部分内容，开展基于计算思维要素的培养。但是我们一定要清楚完整的计算思维的培养目标，就是所有的解决方案最终目标还是要让学生学会把自己想做的事情交付给机器完成的能力。

魏宁：也就是说，完整的计算思维的体现，不只是在头脑中的思维过程，还包含了在实践中如何实现它。

于晓雅：是这样的，首先，计算思维并不是独立存在的，刚才我们提到，它包含了统筹思维、逻辑思维，但也包含了工程思维，是一种与应用场景和交付执行的代理密切相关的思维过程，因此，计算思维是一种融合的思维。

并且，非常重要的一点是，计算思维既有抽象的成分，又有实践的一面，且更多的时候体现出它的实践性，我们也可以把它看作一种应用思维。我注意到，在国外的很多有关计算思维的报告中，会把它称为“计算思维与技能”，在很多专家看来，计算思维通常是与技能联系在一起的，思维与技能相辅相成、密不可分。如果这么去理解计算思维，那么，计算思维就不能只停留在头脑中，不能只有生活化的部分，还必须有操作性的内容。就是说，如果只有逻辑思维，没有把它交付给代理的这种转换能力，就不能说具备了完整的计算思维。

此外，我们通常把测试、调试、验证、迭代、优化等过程列为计算思维的要素，如果没有实践，没有交付给代理的操作过程，这些要素又从何谈起呢？

请注意，我这里一直强调的是“交付给代理的转换能力”，也就是指交付给机器的使用过程。但我没有用“编程”这个提法，因为正像我们前面提到的，随着人工智能的发展，我们可以用类似自然语言的方式将自己解决问题的方案交付给机器去执行，不一定是传统意义上的程序代码。

总的来说，未来我们编写程序的难度可能降低了，但是计算思维的要求我觉得比以前更高了，因为人类要理解的世界，已经向自然世界、人文世界、数字虚拟世界和硅基生命机器人四元世界转型，而不是简单地理解为用计算构建出来的数字虚拟世界，因此，它对人类用计算构建世界和理解用计算构建的世界要求都提高了，我想这也是美国为什么提出计算素养的未来和现实考量。

魏宁：您常年在中小学的信息科技课堂上听课、观察，您觉得中小学信息科技教师在计算思维教学中应该注意什么？

于晓雅：面对刚成为国家课程的信息科技课程，面对新课标全新的计算思维培养要求，客观地说，我们的师资力量并不厚实，需要教师在教学中快速成长起来。

我对信息科技教师的一个具体建议是，对于计算思维的教学，一定要通过亲历计算思维的过程来学习和培养，而不是简单地看课例。如果只是通过观看优秀课例，甚至依葫芦画瓢，把他人的课例拿来，那么这虽然在教法层面上也有可取之处，但对计算思维的理解还是比较困难的。打个比方，我们可以在课堂上不教编程，但教师如果从来没有编过一个程序，很难说就能准确地理解程序。

魏宁：随着人工智能时代的到来，像AIGC等大语言模型的应用，是不是也能成为老师们的学习助手？

于晓雅：是这样的，现在的信息科技教师可以向AIGC学习。我自己最近就有过这样的经历：我让AIGC帮我用Python编写了一个程序，但是不明白其中的一些设计语句。于是，我就通过和AIGC对话，让它对语句做注解，还有不懂的地方，我干脆就让AIGC讲给我听。我觉得很多时候，老师们不妨把自己当作一个“小白”，我们就虚心地跟着AIGC逐句地学代码，这也是人工智能时代一种很好的专业成长方式。

魏宁：对于计算思维来说，评价始终是一个绕不开的问题，也是计算思维培养需要解决的问题，对于计算思维的评价，您有什么具体的建议？

于晓雅：评价是教学实施过程中的重要一环，和具体的知识的评价相比，思维的评价一直是难点，计算思维的评价同样如此。

对于计算思维的评价，我认为标准是第一位的，评价方法和工具是第二位的，因为标准指向的是计算思维的培养目标，如果搞不清楚培养目标是什么，怎么可能做出准确的评价呢？其实，我们经常看到的评价标准里的一级指标、二级指标，本身就是培养目标、教学目标，教什么和评什么本来就是紧密相联的，这样才能体现出教、学、评的一致性。

魏宁：是这样的，要想评价，就要明确评什么。这其实就是要有一个评价的框架、一个指标体系，您对计算思维的评价标准有什么考虑吗？

于晓雅：对于计算思维的评价标准，我曾负责联合国儿基会STEM素养测评中的计算思维测评标准和测评题库研发工作，我对计算思维测评标准给出了三个大的维度，就是抽象化、自动化和智能化。更具体地说，抽象化包括了分解、抽象、建模、泛化等要素；自动化包括过程与控制、算法设计、算法效率、编码与调试等要素；智能化则包括数据思维、虚拟仿真、人工智能三个要素。

魏宁：希望老师们在进行计算思维评价之前，都能认真思考一下该评什么，也就是评价标准的问题。在明晰了评价标准之后，就要涉及如何评的问题，我发现，在实际教学中，很多老师会通过学生作品或者问卷测评来评价计算思维，您怎么看这种方式？

于晓雅：基于作品的评价确实在实践中很常见，因为它简便易行。但是总的来说，我不太鼓励教师单独采用这种方式评价学生的计算思维。因为，如果我们把作品看作一个结果，那么这个作品的产生过程，可能不是我们期待的计算思维的过程，也可能学生是通过不断试错来实现的，如果不能测评计算思维的过程，此时的基于成果的测评就失去意义。另外，信息科技学科的课程性质决定了，我们的课程研究和表达的是信息及其应用中的科学原理、思维方法、处理过程和工程实现。我们不能仅仅拿最后的工程实现的这个作品，反过来证明学生的科学原理、思维方法和处理过程都是正确的。

对于基于问卷的测评，一般来说针对态度和意识会多一点，也难以测评过程。所以，我们在研发计算思维测评的时候，要特别注重真实情境下的问题解决和处理过程的测评。

魏宁：看来，如果想对学生的计算思维水平进行评价，还是需要了解和掌握一些评价工具。这方面您有什么向老师们推荐的吗？

于晓雅：对于具体的评价工具，目前主要有以下几类：

第一类是诊断性评价工具，如一些测试题目，用来评估学生利用计算思维解决复杂问题的能力，“迷宫”就是一种常见的形式。

第二类是总结性评价工具，用来评价学生在接受计算思维技能训练后能否获得足够的知识或应用于实践，如一些具有3D图形效果的交互式动画故事教育软件。

第三类是形成性评价工具，这些工具可以为学生提供反馈，以便发展和提升学生的计算思维技能。例如Dr.Scratch，可以让学生在线创建和修改Scratch项目，该软件可以对抽象、问题解决、并行、逻辑思维等计算思维关键概念进行评分，进而对如何提升计算思维给出建议。

第四类是数据挖掘评价工具，通过实地检索和记录学生的学习行为，为学生提供有价值的数据和学习分析。

第五类是技能迁移评价工具，评价学生在多大程度上可以将计算思维技能迁移到不同类型的问题、背景和情境中，如Bebras国际信息学与计算素养竞赛中的相关题目。

第六类是感知态度量表工具，通过李克特五点量表的方式，评价学生对计算思维的感知和态度，包括创造力、算法思维、合作、问题解决、批判性思维等方面。

魏宁：看上去这些评价工具还是比较专业的，老师们似乎了解得还不够。

于晓雅：对于学生的计算思维评价，我还是希望更多的老师能够去了解一些评价工具，在今天这样一个智能时代，上面提到的评价工具很多都是不难寻找到的。并且我相信，随着对计算思维评价的日渐重视，计算思维评价工具也会逐渐普及的。

案例：从素养培育到学科育人

魏宁：我们聊了很多关于计算思维的话题，能否呈现一个具体的案例，让大家感受一下完整的计算思维的培养过程。

于晓雅：好，我想举关于《π值求解：从手工计算到机器求解》的案例。人类最早用几何法求圆周率，后来用代数形式（解析法）求解，最终发展到用计算机求解，也就是用计算思维创新性求解圆周率。注意我说的计算机创新求解，是指帕佩特所说的第三个阶段，是计算机出现后的创新求解方法，如蒙特卡洛算法，而不是将前面人类集合求圆周率和解析法求圆周率的方法通过计算机高速运算功能和可视化功能的翻译。通过了解这个历史进程，我想有助于老师们更深刻地理解计算思维是如何解决问题的。

我们知道，圆周率π是一个重要的数学常数，也是科学计算的基础，几千年来，全世界的数学家都试图研究并计算出圆周率的越来越精确的近似值。

对圆周率的计算，从古希腊的阿基米德开始，到中国古代数学家刘徽、祖冲之，他们采用的都是几何法，即通过作圆的内接正多边形，用极限思想逼近圆面积，这种方法被称为“割圆术”。在没有阿拉伯数字也没有算盘的时代，祖冲之仅凭借简陋的算筹，将圆周率精确到小数点后第七位，这相当于要作圆的内接正24576边形。祖冲之的纪录保持了1000多年，是一个非常了不起的成就。

从16世纪开始，法国数学家韦达开创了用解析式计算圆周率，包括无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种计算圆周率的表达式，使π的精度迅速增加。到了1948年，英国的弗格森和美国的伦奇共同把π值精确到小数点后808位，这也是手工计算圆周率的最高纪录。

随着计算机的问世，计算机算法立刻取代了各种手工计算方法，π值的精确度开始突飞猛进。2022年，谷歌公司通过谷歌云计算引擎，已经把圆周率计算到了小数点后100万亿位。

下面我们就来看看，如何用计算机算法实现割圆术求解圆周率。

第一步是分解问题。计算思维的第一步就是化繁为简，把复杂问题分解为若干易于处理的小问题。从最简单的圆内接正六边形开始，接着计算圆内接正12边形、正24边形的面积，进而得到圆周率近似值。

第二步是模式识别。计算思维需要我们寻找到事物变化的规律，当计算出圆内接正六边形面积后，其他正多边形面积是在正六边形面积基础上，边数不断翻倍，重复计算正多边形面积，重复次数越多，圆内接正多边形边数越多，圆周率越精确。

第三步是抽象。找到圆内接正多边形面积的变化规律，抽象出割圆术的计算规律。

第四步是算法设计。圆内接正多边形面积的重复计算与程序的迭代思想类似，随着边数不断翻倍，结果无限接近圆周率。

第五步是建立模型。在以上四个步骤基础上，用计算思维将求解圆周率的过程转化为简单的迭代过程，借助计算机计算出圆周率的近似值。

第六步是程序编写。先计算出正六边形的面积，通过for循环语句，重复计算边数不断翻倍下的圆内接正n边形面积，迭代次数越多，圆周率越精确。

第七步是模拟测试。通过程序运算，分别进行10、12、16、20、100等次迭代计算，得出圆周率近似值。

随着计算技术的发展，很多巧妙的算法被发明出来，计算机科学先驱冯·诺依曼就提出了蒙特卡洛方法，它的基本思想是：当所求解问题是某种随机事件出现的概率或者某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率，估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

有兴趣的老师可以详细了解蒙特卡洛方法及其Python程序编写过程，蒙特卡洛方法虽然不能特别精确计算出问题的解，但开创了解决不确定问题的新路径，这正是计算思维创造出全新的问题解决方法的体现。

魏宁：蒙特卡洛方法是一种典型的利用计算机求解近似问题的算法，特别值得老师们注意。

于晓雅：是啊，不仅如此，π的机器求解问题还能促使我们深入思考有关的工程问题和科学问题。

第一个问题是限度问题。如果仅仅将数学家的公式翻译成代码执行，计算机能否无限计算下去？答案是不能，因为计算机求解问题的过程必须考虑硬件条件——运算、控制、存储、算力分布等问题。

第二个问题是数据类型问题。因为我们不会满足于十几位小数的结果，所以需要设计一个表示任意有限小数的数据类型，进制的选择也会成为一个问题，这些都需要不断尝试、解决。

第三个问题是存储问题。当我们把圆周率计算到小数点后几十万亿位的时候，需要的内存将达到几百TB，在当下没有这类产品或价格昂贵的情况下，现实的替代方案是什么？这也是必须考虑的一个工程问题。

可见，从数学抽象到计算抽象再到代码实现，π的求解过程，绝不只是把数学家的思想“翻译”成代码执行这么简单，而是一个涵盖了当时最先进的算法和软硬件设备的综合解决方案。在这个过程中，我们也能清晰地看到，计算思维与数学思维、工程思维的融合设计与实施。

魏宁：是的，工程思维其实是一个非常重要但又往往被忽视的思维，在这个案例中，我们能深刻体会到工程思维的重要性。

于晓雅：不过，由此带来的关于计算思维的思考还没有结束。我常常想，中国古代擅长几何法，随着西方代数法的出现，一般认为东方数学渐渐落后了，但情况未必是这样的。我们看到在圆周率的计算机算法中，几何法再一次焕发出新的生命力，如我国南宋数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，直到今天依然被认为是最优算法。

π的机器求解这个案例也是一次比较东西方在问题解决上不同思维的绝佳案例，正如我国著名数学家吴文俊所说的：“中国传统数学的机械化思想与现代计算机科学是相通的，计算机的飞速发展必将使中国传统数学的机械化思想得以发扬光大。”今天的人工智能算法，按照西方的思路说白了就是利用超强的算力，进行“暴力计算”。那么，在未来有没有一种可能，我们东方的古老智慧，为人工智能、为计算方法提供另一条路径呢？

我坚信，暴力计算不应是人工智能的未来，我们古老的数学机械化思想不就为π的计算机算法提供了很好的中国方案吗？我们同样可以为人工智能算法的未来贡献东方智慧。

魏宁：从您上面对这一案例的引申和升华，我已经看到了课程思政、学科育人的影子，我想，这个话题非常值得学生们去思考、去探讨。

感谢您今天聊了这么多有关计算思维的话题，从计算思维的概念演进到实践路径，我相信这些对老师们会非常有启发，会促使大家对计算思维进行更多、更深入的思考。

于晓雅：我也祝愿新生的信息科技课程茁壮成长，学生的计算思维培养上升到一个新的台阶。

文章刊登于《中国信息技术教育》2024年第13期

引用请注明参考文献：

于晓雅，魏宁.计算思维：从概念演进到实践路径[J].中国信息技术教育，2024（13）：4-12.