编者说：

采用拟合函数对零时刻电阻值进行数值计算，是精确测量绕组温升的重要方法，而不同的拟合函数对计算结果的影响是造成该项试验数据偏差的重要因素。然而，目前并没有相关标准对此予以约束，也缺乏具有针对性的方法解释，试验人员可以自由选择诸如对数函数、指数函数、幂函数、线性或非线性多项式函数等进行数据处理，因此造成计算结果缺乏说服力，试验数据难以获得公认。

本文提出了对拟合函数选择的基本要求，从数值数学和物理传热学理论两方面阐述了常用拟合函数的特点并就其适用场合进行了说明。

本期由上海市质量监督检验技术研究院高级工程师 周全为大家进行解读。

绕组由于发热和散热条件复杂，其内部存在一个复杂的温度场，故而就绕组温升试验而言，曲线拟合的基函数可选择的类型很多，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、多项式函数以及其他复合函数等。

从数学角度看，绕组温升试验中的曲线拟合，不同于完全抽象的范畴，是一种基于理论模型的曲线拟合。即，所获得的曲线函数f(x)应该建立在非稳态散热条件下的绕组电阻变化的数学模型之上，其基本特征应尽可能满足两个特殊要求。

1）因为绕组温度及其下降速率会随时间推移逐渐降低，相应的电阻值及其下降速率也会随之减小，所以函数f(x)及其导函数f’(x)在x→0+附近应该是连续的单调递减函数。

2)因为金属电阻与温度的关系方程（R=R0（1+αT））中包含一个常数项，所以函数值f(0)应存在，其对应了绕组的终态电阻值。还因为金属电阻与温度的线性关系，所以导函数f’(x)在数学形式上宜与原函数f(x)保持一致。

除此以外，因为在试验中越先测得的数据，越能体现绕组在断开电源瞬间的实际情况，所以函数f(x)在计算时可以按数据获得的时间顺序进行加权处理。还因为测量值与真实值之间存在误差，所以函数f(x)的图像可以不经过任意的数据点。当然，拟合曲线在形态上必须与实测数据点的分布情况相符合，这也是对所有函数逼近和曲线拟合方法的基本要求。

所以选择拟合函数时，首先应观察数据点的分布形态，其次还应兼顾所得函数的合理性与可解释性。

01对数函数

当选择选择对数函数作为拟合的基函数时，在数学上只需使用式（1）的形式即可，但是该函数在f(0)处没有定义，无法直接求出所需要的绕组电阻值，所以需要将其改写成如式（2）的形式后，才能用于对试验数据进行拟合计算，其导函数如式（3）所示。

公式（1）

公式（2）

公式（3）

因为对数函数的导函数不再具有对数形式，在理论上就违背了金属电阻值与温度变化的线性关系，所以，在做小型绕组的温升试验时，不宜采用对数函数进行计算。只有当测量大型绕组时，出现了温度场分布不均匀导致电阻值与温度不在满足线性关系时，才可以采用对数函数拟合计算。

02指数函数

当选择指数函数作为拟合的基函数时，可以自行确定指数的底，相应的原函数及其导函数为：

公式（4）

公式（5）

但习惯上往往使用自然指数e，相应的原函数及其导函数为：

公式（6）

公式（7）

指数函数的导函数仍为指数函数，符合电阻与温度变化的实际情况，所以这种方法可以适用于各种大小的绕组。然而指数函数的理论缺陷也很明显，以自然指数函数为例，对式（6）两边取自然对数可得：

可见，指数拟合的前提是x与lny要满足线性关系，而实际上，时间x与绕组的电阻值y之间显然缺乏这样的关系。因此，采用指数函数进行拟合缺乏必要的数学基础。

03幂函数

当选择幂函数作为拟合的基函数时，会遇到与对数函数同样的问题，即f(0)没有定义，必须使用式（9）的形式进行计算。其导函数仍为幂函数，所以这种方法适用于各种大小的绕组。

公式（8）

公式（9）

公式（10）

04三角函数

通常会选择形如式（12）的三角函数作为拟合的基函数，其导函数形如式（12）所示。

公式（11）

公式（12）

因为三角函数是连续的周期性函数，试验人员必须判断函数在整个试验采样时间内是否出现拐点，否则该函数的意义将表示绕组电阻值的下降速率随时间推移而加快，从而违背了非稳态散热的基本规律。

05多项式函数

当选择多项式函数作为拟合的基函数时，对于给定区间内的n+1个互异的节点，其n次插值多项式存在且唯一，因此，无论用哪种方法求取f(x)，其结果总是相同的。其函数和导函数的形式为：

公式（13）

公式（14）

由于多项式函数的导函数仍然是多项式函数，能够在形式上体现绕组温变速率与温度变化的相关性，因此这种方法同幂函数一样具有普适性。然而其缺点也很明显，一是由于其导函数与原函数的次数不同，也就意味着在给定区间以外的一侧，温变速率与温度变化是负相关的，这也违背了基本的物理常识。二是多项式插值在接近区间两端点附近的偏离很大，函数可能出现龙格现象而不收敛，然对于绕组温升测量而言，却正是需要在端点附近有较高的插值精度以确保零点电阻值数据的准确性。

06其他函数

除了上述简单函数以外，还有很多函数可以作为拟合的基函数，例如将指数函数与幂函数相结合，可以得到：

公式（15）

由于这些函数形式上相对复杂，计算量大，物理上的含义也不明确，因此在实践中较少应用。只有当被测绕组出现极为复杂的温度场，温变速率与温度变化存在极为明显的不相关性时，才可能考虑使用这些函数。

文章信息

本文刊发于2020年《环境技术》第2期

文章：多种拟合函数在绕组温升试验中的适用性分析

作者：周全，谢肖，王婷婷，上海市质量监督检验技术研究院，

张晓楠，中检集团理化检测有限公司

专家简介：周全（1982.5-），男，工学硕士，高级工程师，现为上海市质量监督检验技术研究院电子电器家用电器质量检验所副所长兼质量负责人，长期从事各种电器产品的质量安全检测认证及风险研究。

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