#头条创作挑战赛#

老黄自己推导了下面两个幂函数与三角函数的积的不定积分公式，并且越来越发现它们强大的功能。因此决定继续分享如何应用它们来解一些看着几何是不可能求解的不定积分。

因为是老黄自己的推导的公式，所以老黄很快的就对它们滚瓜烂熟了。小伙伴们应该不那么容易记熟，可以把它们收藏起来，需要的时候直接应用就可以了。请不要因为它们实在太复杂，就忽略它们！高等数学这个程度其实还算蛮简单的。这两个公式的形式如下：

当n∈N*, a≠0，

I. ∫x^n*cos(ax+b)dx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))x^(n-i)*sin(ax+b+iπ/2)+C；

II. ∫x^n*sin(ax+b)dx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1) )x^(n-i)*cos(ax+b+iπ/2)+C.

我们可以利用它们直接求出下面三个高次幂的不定积分：

求：(1)∫x^601*sin(x/7)dx；(2)∫x^89*cos4x*sin2xdx； (3)∫x^2022*cosxdsin2x.

解：(1)∫x^601*sin(x/7)dx=-∑(i=0->601)(601!∙7^(i+1)/(601-i)!)*x^(601-i)cos(x/7+iπ/2)+C.

(2)∫x^89*cos4x*sin2xdx=1/2*∫x^89*(sin6x-sin2x)dx；

其中∫x^89*sin6xdx=-∑(i=0->89)89!/((89-i)!∙6^(i+1))*x^(89-i)*cos(6x+iπ/2)+C1；

∫x^89*sin2xdx=-∑(i=0->89)89!/((89-i)!∙2^(i+1))*x^(89-i)*cos(2x+iπ/2)+C2；

原积分=1/2*∑(i=0->89)(89!∙x^(89-i))/((89-i)!∙6^(i+1))(3^(i+1)*cos(2x+iπ/2)-cos(6x+iπ/2))+C.

(3)∫x^2022*cosxdsin2x=2∫x^2022*cosx*cos2xdx=∫x^2022(cos3x+cosx)dx.

其中∫x^2022*cos3xdx=∑(i=0->2022)2022!/((2022-i)!∙3^(i+1))*x^(2022-i)*sin(3x+iπ/2)+C1；

∫x^2022*cosxdx=∑(i=0->2022)2022!/((2022-i)!)*x^(2022-i)*sin(x+iπ/2)+C2；

原积分=∑(i=0->)(2022!∙x^(2022-i))/((2022-i)!∙3^(i+1))(sin(3x+iπ/2)+3^(i+1)*sin(x+iπ/2))+C.

再来一道练习：求∫x^47*(cosx)^2dx.

解：(cosx)^2=(1+cos2x)/2.

原积分= 1/2*∫x^47dx+ 1/2*∫x^47*cos2xdx

= x^48/96 + 1/2*∑(i=0->47)47!/((47-i)!∙2^(i+1))*x^(47-i)sin(2x+iπ/2)+C.

求和公式前面的系数1/2也可以分配到各项中去，分母的因数2^(i+1)改成2^(i+2)就可以了。用这个方法，不论余弦或正率的几次方，都可以解决。当然次数太高就会特别麻烦。

你以为这两个公式就这点功能吗？不，老黄已经发现了它们另一项强大的功能，会在接下来的视频中分享给大家，老黄相信它们的功能还有很多，等待老黄去慢慢发掘，有兴趣的小伙伴也可以动动你们聪明的大脑筋，和老黄笨笨的小脑筋一起去探究，就会有倍增的发现哦。