数者，数也。你真的会数数吗？

士心叔叔 04-12 166

前言：

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数有三种拼音：shù、shǔ、shuò，“数”作名词时读作shù，也即是数学的数，有5种意义，详情请参考下图。

作副词时读作shuò，表次数多。

作动词时读作shǔ，也即是数数的数（前面那个），有3种意义，具体也请参考下图。这也正是我们今天这篇文章讨论的要点，如何计数。

本文并不以所谓奥数为研究对象，只是单纯探讨如何正确快速地数数。因此我们当然要从最简单，具体的计数问题开始。

一、直线型计数问题

所谓直线型，也就是排成一排一个一个地数。如下图:

当然由此也会引申出一些颇为有趣的问题。

比如问题一:小红排队买冰激凌，从前往后数小红在第六位，从后往前数小红在第八位，请问队伍里总共有多少人？

解答:从前往后小红排第六，所以小红前面有6-1=5人，从后往前数小红排第八，所以小红后面有8-1=7人，所以加上小红总共有5+7+1=13人。

同样有趣的一个问题在儿歌《十只小猪过河》中表达得非常生动。

二、进位计数问题

进入小学，学会直线型计数之后，解决的第一个问题就是进位计数的问题。

实际生活中我们用得最多的是十进制计数。

为了尽可能简洁地表示一些大数，我们必须要引入进位计数的原则，如上图所示:个位柱子上的一颗珠子表示也1，十位珠子上的一颗珠子表示10...，所以此时上图所示的数字应该是23426，当我们再在十位柱子上拨来3颗珠子时，就变成了23456.

我国古代的算盘比上述计数器更加精密实用，但要稍显复杂一点。你首先要认识算盘的结构特点，算盘以档计位，以珠计数。大档在左，小档在右，小白点处表个位。上珠一颗表示5，下珠一颗表示1，计数时珠子都靠梁。

比如下图中的两个数分别是:705，360

当然，常用进制除了10进制，还有2进制，12进制，60进制等。它们之间的转换关系如下图:

有了进位计数以后，自然也会出现相应的计数问题。

问题二:3到50之间（含3、50两数，下同）的自然数有多少个？

解答:50-3=47，47+1=48，故共有48个自然数。（此类问题要记得加1，因为头尾皆算）

问题三:8到58之间有多少个偶数？

解答:自然数总是一奇数一偶数交替出现的，但是你不能够单纯地认为，奇数和偶数在所给数队中总是一样一半。还得看它从奇开始，还是从偶开始；到奇结束，还是到偶结束。如果奇始奇末，那么奇数比偶数多一个；如果偶始偶末，那么偶数比奇数多一个；至于其余的情形，奇数与偶数一样多。这里用到的其实就是数学当中的分类思想。

在本例中，共有自然数58-8+1=51个，因为是偶始偶末，所以偶数比奇数多一个，故偶数个数=（51+1）÷2=26个。

三、代数式中的计数问题

字母代数使得我们对数学的研究具有更强的一般性和可推广性，使得类题解决成为可能。也为全称命题、代数运算、方程求解、函数研究等内容的出现与展开提供了必要的前提与基础。

闲话不必多叙，我们还是将目光放回到计数问题上。

问题四:若x是一个非零自然数，请问从x到2x-1有多少个自然数？有多少个偶数？

解答:（2x-1）-x+1=x，所以这之间共有x个自然数。

2x是偶数，2x-1一定是奇数。而x可能是奇数，也可能是偶数，所以需要分开讨论。

若x为奇数，那么奇始奇末。所以偶数个数=（x-1）÷2；若x为偶数，则偶始奇末，偶数与奇数各占一半，故偶数个数=x÷2。

问题五:已知n是不小于6的自然数，那么如下这一列数（就是一个数列）总共有多少个数字？

2，7，14，23，...，n²-2.

解答:上述数列可以表示为:2²-2，3²-2，...，n²-2。那么个数当然就是从2到n自然数的个数，所以数字个数=n-2+1=n-1个。

问题六:条件如上问所述，请问下面的数列中有多少个数？