第一种，大众都熟知的，就是解决了一个著名的数学 难题的数学家了。 比如 陈景润 证明了和，哥德巴赫猜想 相关的 1+2 定理，英国数学家 怀尔斯 证明了 费马大 定理，高斯解决了 用尺规作图 做正十七边形的问题。

第二种。就是提出了 一个或一类著名的 数学问题，这样的问题，一般表述比较 简单，容易理解，而计算或证明则很难。比如哥德巴赫猜想，任何大于6的整数，都能表示为两个素数之和 比如业余数学家 费马，提出的费马大定理，就是 x的n次方，加上y的 n次方，等于z的n次方，只有 n等于 2时，有正整数解，n大于等于3没有正整数解，费马说他 有一个绝妙的方法 证明 费马大定理，只是书上写不下而已，或许 这样的 证明 真的存在。

还有 ramsey 数的计算，表述为 在 一次聚会中，至少有 3(m)个人 相互认识，或3(n)个人 相互不认识，则聚会的人数，至少为几人。这个问题，可以表示为 图的染色问题，当以上的 m和n 变大时，则变得 非常 难以计算。

还有 传奇的 匈牙利 数学家 erdos 提出的一个问题。3n+1 猜想， 任意想一个 正整数，如果这个数 是 偶数，则将 这个数 除以2 ，如果这个数 是奇数，则 这个数 变为 3n +1，一直循环 这个过程，则最终将 得到 1。erdos 给能证明这个问题的人，提供500美元奖金。

第三种 数学家，就是 提出了 一种全新的工具，改变了人们考虑问题的方式，可以应用于广泛的领域。 比如 笛卡尔 发明 的解析几何，将数型结合的 思维方式 提到 一个 新高度。

古代 数学家 认识到，将一个直角三角形 绕直角边 为 轴 旋转一圈后，得到一个圆锥，从不同的 角度用 平面 截圆锥，可以得到 抛物线，双曲线，椭圆。而解析几何，在深刻的 将这些曲线 和 二次 函数 联系起来。

解析几何，可以将代数问题，转化为几何问题，利用 人类进化中 形成的 高度发达的 视觉 处理系统 ，来获得直觉，掌握问题的 整体性质。 也可以 将 几何问题 ，转化为代数问题，进行精细计算。

还有 牛顿 莱布尼兹 发明的 微积分，无穷小的思维方式，能应用的数学问题 领域 真是 太多了。类似于 交通运输 中，从马车 变为 了 安装了发动机的 车辆。给数学的发展 提供了无穷的动力，从此 人们能 研究问题的 范围和 难度，大大地增加了。

伽罗华 发明的 群论，是研究事物对称性 现象的 数学工具。

柯西 发展出来的 复变函数，深刻地揭示了 复数 是研究 旋转运动 的 重要工具。

傅里叶发展的 傅里叶 变换，成为研究 周期性现象的 重要工具。

现代 发展出来的，新的 工具，比如 神经网络，遗传算法，决策树 等，虽然 在 学科上，是分类在 计算机科学下的。其实也是 数学思维方式，和传统 微积分，群论，解析几何的 区别 就 在于 计算量的大小。这些方法，要解决实际问题，需要的计算量 比传统的 数学工具 大的多，无法用 传统的 纸和 笔来完成，需要编程，用程序来计算，才能得到有意义的结果。

第四类 数学家，专注于 某一领域的具体现实问题。利用数学工具研究现实问题，在这个过程中，发展了数学工具。比如 拉格朗日 和 拉普拉斯 ，主要专注于力学问题.

类似于 it 行业 有开发 编译器，操作系统等 系统软件的，也有开发 某一领域的 库程序 和 app 的，数学领域 也是一个 分工多样，五彩缤纷的世界。不过，数学领域的工作成果， 生命周期长的多，初中学的平面几何，2000年前 就形成了，大学工科数学的主要内容，100多年以前，就已经形成了。而 计算机领域，70年代开发的 dos 早已被废弃。Python 语言 流行开以后，basic 语言学习的人也 少多了。