我们知道，一元二次方程ax^2+bx+c=0如果有实数根，那么根的判别式△=b^2-4ac≥0.

有关求最值问题，通过构造一元二次方程，然后利用根的判别式进行求解的方法叫做判别式法。请看如下各例：

例1 求二次函数y=2x^2-8x+3的最小值。

解析：把函数解析式整理为关于x的一元二次方程：

2x^2-8x+3-y=0,

因为x为实数，所以△=64-4×2(3-y)≥0，

整理，得：8y-40≥0，

解得：y≥5.

所以y最小值为5.

例2 设x为负数，求函数y=2x+1/x的最大值。

解析：把函数解析式整理为关于x的一元二次方程：

2x^2-yx+1=0.

因为x的实数，所以△=y^2-8≥0，y^2≥8，

所以y≥2√2或y≤-2√2,

因为x为负数，所以y<0，

所以y≤-2√2.

所以y最大值为-2√2。

例3 已知实数x，y满足x^2y-2xy-3x+y+1=0，求y的最小值。

解析：把方程整理为关于x的一元二次方程：

yx^2-(2y+3)x+y+1=0，

因为x的实数，所以△=(2y+3)^2-4y(y+1)≥0,

整理，得：2y+9≥0，y≥9/2.

所以y 最小值为9/2.

例4（2020年福建省中考题第25题）已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线y=ax^2+bx+c经过A、B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且P1（x1，y1）,P2(x2，y2)是抛物线上的两点，当x1>x2≥5时，y1>y2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，当m--2时，求证：l2∥l1;

(3)若E时BC上的一点且不与端点重合，l3:y-2x+q经过点C，交AE于点F，试求△ABE和△CEF面积之和的最小值。

解析：(1)依题意，点A（0，10），B（5，0），C（1，0），

代入y=ax^2+bx+c可解得a=2，b=-12，c=10,

所以y=2x^2-12x+10；

（2）因为n≠10，所以l2：y=mx+n与l1:y=-2x+10是不同的直线，

又k相等，所以l2∥l1;

（3）因为l3：y=-2x+q经过点C（1，0），

所以0=-2+q，q=2，

所以l3：y=-2x+2，

设点E(t，0)，0<t<5，

则BE=5-t，CE=t-1，

设直线AE的解析式为y=kx+10，

则0=kt+10，k=-10/t，

所以y=-10/t•x+10，

与y-2x+2联立，解之，得

x=4t/(5-t)，y=(-10t+10)/(5-t)，

所以F[4t/(5-t)，(-10t+10)/(5-t)],

所以△CEF的边CE上的高为|(-10t+10)/(5-t)|=(10t-10)/(5-t)，

设△ABE和△CEF面积之和为S，则

S=1/2•(5-t)•10+1/2•(t-1)•(10t-10)/(5-t)

=（10t^2-60t+130）/(5-t)，

把它整理为关于t的一元二次方程，得：

10t^2-(60-S)t+130-5S=0，

因为t为实数，所以△=(60-S)^2-40(130-5S)≥0，

整理，得S^2+80S≥1600，

整理为：(S+40)^2≥3200,

因为S≥0，所以S+40≥40√2，

所以S≥40(√2-1)，

所以S最小值为40(√2-1)，

即△ABE和△CEF面积之和的最小值为40(√2-1).