计算概率的几个基本概念

组合：从n个不同的元素中任取r(1<=r<=n)个不同元素，不考虑次序将它们并成一组，称之为组合。所有不同的组合种数记为C(r，n) 。这里的写法不是标准写法，标准写法参照教科书。

排列：从n个不同的元素中任取r(1<=r<=n)个不同元素，按一定的顺序排成一列，称之为排列。所有不同的排列种数记为A(r，n) 。这里的写法不是标准写法，标准写法参照教科书。

组合数的计算公式：C(r，n) = n!/(r! (n-r)!) ，n!称作n的阶乘，n! = 1*2*3*……(n-1) *n。

排列数的计算公式：A(r，n) = n!/(n-r)! 。

加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m(1)种不同的方法，在第二类办法中有m(2)种不同的方法，……，在第n类办法中有m(n)种不同的方法，那么完成这件事共有N=m(1) + m(2) + ……+ m(n) 种不同的方法。

乘法原理：完成一件事，可以有n个步骤，在第一步中有m(1)种不同的方法，在第二步中有m(2)种不同的方法，……，在第n步中有m(n)种不同的方法，那么完成这件事共有N=m(1) * m(2) * ……* m(n) 种不同的方法。

简便计算：C(r，n) = C(n-r，n)。例如：C(5，6) = C(1，6) = 6

彩票种类

彩票有组合式的也有排列式，双色球、大乐透和七乐彩都组合式的，不计顺序的，还有一些是计顺序的数字型彩票，如排列三等。

双色球分析

这里将分析组合式的双色球彩票的设计，以及买彩票的人的投入和收获。

双色球分为红球和蓝球，红球从33个数中选6个，蓝球从16个数中选1个。

首先，需要算出总共有多少种不同组合。双色球分为红球和蓝球，它们之间属于分步关系，总的组合种类 = 红球组合种类*蓝球组合种类。

红球为从33个数中选取6个组成一组，不区分顺序，所以红球组合种类 = C(6，33) = 33! / (6! * 27!) 。

蓝球只有一个，所以蓝球种类 = C(1，16) = 16! / (1! * 15!) 。

总的组合种类 = (33! / (6! * 27!)) * (16! / (1! * 15!)) = ((33*32*31*30*29*28)/ (6*5*4*3*2*1) * 16

= 17721088 。

一等奖：红球全中，蓝球也中，显然可能的组合数 = C(6，6)* C(1，1) = 1。

红球从6个中奖数字里任选6个C(6，6)；蓝球从1个中奖数字中选1个 C(1，1) 。

二等奖：红球全中，蓝球没中，可能的组合数 = C(1，15) = 15 。

红球从6个中奖数字里任选6个C(6，6)；蓝球从15个没中的数字中选1个，有C(1，15)个种类。

三等奖：红球中5个，蓝球中，可能的组合数 = C(5，6)*C(1，27) = 6*27 = 162。

红球从6个中奖数字里任选5个C(5，6) ，从27个没中的数字中任选1个给它C(1，27) 。

四等奖：红球中5个，蓝球没中，可能的组合数 = C(1，15)*C(5，6) *C(1，27) = 2430 。

蓝球从15个没中的数字中选一个，有C(1，15)个种类；红球从6个中奖数字里任选5个C(5，6) ，从27个没中的数字中任选1个给它C(1，27) 。

四等奖：红球中4个，蓝球中，可能的组合数 = C(4，6)*C(2，27) = ((6*5) / (2*1)) * ((27*26)/(2*1)) = 5265 。

红球从6个中奖数字里任选4个C(4，6)，从27个没中的数字中任选两个给它C(2，27) 。

五等奖：红球中4个，蓝球没中，可能的组合数 = C(1，15)*C(4，6)*C(2，27) = 78975 。

蓝球从15个没中的数字中选一个，有C(1，15)个种类；红球从6个中奖数字里任选4个C(4，6)，从27个没中的数字中任选2个给它C(2，27) 。

五等奖：红球中3个，蓝球中，可能的组合数 = C(3，6)*C(3，27) = ((6*5*4) / (3*2*1)) * ((27*26*25)/(3*2*1)) = 58500 。

红球从6个中奖数字里任选3个C(3，6)，从27个没中的数字中任选3个给它C(3，27) 。

六等奖：红球中2个，蓝球中，可能的组合数 = C(1，15)* C(2，6)*C(4，27) = 263250。

六等奖：红球中1个，蓝球中，可能的组合数 = C(1，15)* C(1，6)*C(5，27) = 484380。

六等奖：红球中0个，蓝球中，可能的组合数 = C(1，15)* C(6，27) = 296010。

如果一个人将双色球的所有可能组合都买一注的话，那么他的投入和收获是多少呢？

总的投入： 2*17721088 = 35442176 元。

三等奖奖金：3000元；四等奖奖金：200元；五等奖奖金：10元；六等奖奖金：5元。

那么三四五六等奖的收获：162*3000 + 2430*200 + 5265*200 + 78975*10 + 58500*10 + 263250*5 + 484380*5 + 296010* 5 = 486000 + 486000 + 1053000 + 789750 + 585000 + 1316250 + 2421900 + 1480050 = 8617950 元

假设一等奖500万，二等奖30万，那么一等奖收获500万，二等奖收获450万。后面会讲解为什么这么假设。为什么一等奖1000万二等奖30万设置是不可行的，或一等奖500万，二等奖70万等都是不可行的？

总收获：8617950 + 5000000 + 4500000 = 18117950元

收获/投入 = 18117950 / 35442176 = 0.51

这与双色球的每期计提彩票奖金大致一致。严格说，一等奖500万，二等奖30万也是达不到的。

这两个数值必须一致，如果收获/投入大于 0.51，那么彩票中心长期看每期只计提51%的彩票奖金就不够兑奖的；如果收获/投入小于0.51，那么彩票中心长期看每期计提51%的彩票奖金兑奖后就会有剩余，并且会不断累积。

这就回答了上面的问题，为什么一等奖1000万二等奖30万设置是不可行的，或一等奖500万，二等奖70万等都是不可行的？如果这么设置，计提的金额就不够兑奖的。

排列三分析

排列三是指从000-999的数字中选取一个3位数作为一注号码进行的投注。每注金额2元。

首先计算总共不同注数：百位有10种可能，十位有10种可能，个位有10种可能，利用乘法原理，总共不同的注数为1000种。

假设一个人将所有不同的排列都买一注，那么他要投入金额为：1000*2 = 2000元。

他收获为赢得一注，收获为：1040元。

收获/投入 = 1040/2000 = 0.52

这与排列三的每期计提彩票奖金一致，52%为当期奖金，1%为调节基金。长期看，调节基金内的金额会趋势性增加。

这种彩票有组选3和组选6，这也很好理解。组选3就是一组数据总共有3种排列，中奖机率增加了3倍，相应地奖金额也降低了3倍；组选6就是一组数据总共有6种排列，中奖机率增加了6倍，相应地奖金额也降低了6倍。

1040 / 3 = 346；1040 / 6 = 173。

大数定律

大数定律是说，随着试验次数的增加，事件的频率逐步【稳定】到事件的概率。也就是说，随着开奖次数的增加，随着购买注数的增加，各等奖中奖的频率会收敛到各等奖的概率。

但是，由于双色球的一等奖的概率太小了，5.62*10^(-8)，每期的偏差会很大，所以双色球留有2%的调节基金，并且一等奖二等奖并不是固定奖金，为每期的偏差留有余地。