§1.5　全称量词与存在量词1.5.1　全称量词与存在量词

学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

导语

同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，”也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业，”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词．而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论．

一、全称量词与全称量词命题

问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

(1)x>3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x>3；

(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．

知识梳理

全称量词与全称量词命题

全称量词

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号表示

∀

全称量词命题

含有全称量词的命题

形式

“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

注意点：

(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定；

(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”；

(3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；

(4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可．

例1　判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假．

(1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B；

(2)自然数的平方大于或等于零；

(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．

解　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．真命题；

(2)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0.真命题；

(3)全称量词命题．对于任意二次函数，它的图象的开口都向上．假命题．

反思感悟　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．

(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．

跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假．

(1)每个四边形的内角和都是360°；

(2)任何实数都有算术平方根；

(3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．

解　(1)真命题；(2)负数没有算术平方根，假命题；(3)x＝是无理数，但x2＝2是有理数，假命题．

二、存在量词与存在量词命题

问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

(1)2x＋1＝3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；

(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．

提示　容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．

知识梳理

存在量词与存在量词命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的

符号表示

∃

存在量词命题

含有存在量词的命题

形式

“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”

注意点：

(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题；(3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立．

例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假．

(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；

(2)某个四边形不是平行四边形；

(3)方程3x－2y＝10有整数解；

(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0.

解　(1)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题．

(2)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题．

(3)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．真命题．

(4)存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．假命题．

反思感悟　(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．

(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立．

跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假．

(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；

(3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．

解　(1)菱形的对角线互相垂直，真命题；(2)n2＋n＝n(n＋1)，故n和n＋1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题；(3)当x＝π时，x2仍是无理数，真命题．

三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围

例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．

解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，所以

解得2≤m≤3.

即m的取值范围为{m|2≤m≤3}．

延伸探究

1．把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．

解　p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.

所以或

解得2≤m≤4.

2．把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，

所以A⊆B，B≠∅，所以解得m∈∅，

所以不存在实数m，使命题p是真命题．

反思感悟　依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法

(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．

(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．

跟踪训练3　若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．

解　∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，

∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，

则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.

即实数a的取值范围为{a|a≤4}．

1．知识清单：

(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．

(2)含量词的命题的真假判断．

(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围．

2．方法归纳：定义法、转化法．

3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．

1．(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　)

A．任意一个自然数都是正整数

B．有的菱形是正方形

C．梯形有两边平行

D．∃x∈R，x2＋1＝0

答案　AC

解析　选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题．

2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．任意一个负数都比零小

C．每一个正方形都是矩形

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D选项是存在量词命题．

3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．存在一条直线与已知直线不平行

C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b

D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立

答案　C

解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.

4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．

答案　存在量词命题　假

解析　命题p是存在量词命题，

因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，

即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．

课时对点练

1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

答案　C

解析　“∀”表示“任意的”．

2．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　)

A．∀x∈R,2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N

C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数

答案　C

解析　对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；

对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；

对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；

对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．

3．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R,2x－10＝1

C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0

答案　C

解析　当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．

4．下列存在量词命题是假命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使4－x2＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案　B

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．

5．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

答案　B

解析　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．

6．(多选)下列命题中是存在量词命题的是(　　)

A．有些自然数是偶数

B．正方形是菱形

C．能被6整除的数也能被3整除

D．存在x∈R，使得|x|≤0

答案　AD

解析　选项A是存在量词命题；选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而选项D是存在量词命题．

7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________．

答案　∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0

解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．

8．给出下列命题

(1)∀x∈R，x2>0；

(2)∃x∈R，x＋1≤0；

(3)∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.

其中真命题的个数为____________．

答案　2

解析　(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；(2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，真命题；(3)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．

9．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．

(1)对所有的正实数t，为正且<t；

(2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；

(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；

(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

解　(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，

则<t不成立．

(2)为存在量词命题，且为真命题，

因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0，

所以存在实数x，使得x2－3x－4＝0.

(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，

则3x－4y－5>0成立．

(4)为全称量词命题，且为真命题．

10．已知命题“∃－3≤x≤2,3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围．

解　由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，

∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，

∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤，

故实数a的取值范围是.

11．下列命题中形式不同于其他三个的是(　　)

A．∀x∈Z，x2－9<x2

B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0

C．每一个正数的倒数都大于0

D．∀x<2，x－3<0

答案　B

解析　ACD均为全称量词命题，B为存在量词命题．

12．下列命题中正确的个数是(　　)

①∃x∈R，x≤0；

②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；

③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数．

A．0 B．1 C．2 D．3

答案　D

解析　①∃x∈R，x≤0，正确；

②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；

③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.

综上可得①②③都正确．

13．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>－1 B．a<－1

C．a≥－1 D．a≤－1

答案　B

解析　依题意方程x2＋2x－a＝0无实根，

所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.

14．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．

答案　a≤3

解析　对于任意x>3，x>a恒成立，

即大于3的数恒大于a，所以a≤3.

15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5

答案　C

解析　当该命题是真命题时，

只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．

又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，

所以a≥4.

因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4.

所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.

16．若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解　因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，

所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立．

设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．